搜索与匹配模型：McCall 保留工资与 DMP 框架

01 经济环境与摩擦性失业假设

新古典劳动市场假设工资瞬间出清、无摩擦。但现实中一个工人失业后不会立刻找到工作，一个企业有空位也不会立刻招到人——这就是摩擦性失业。搜索匹配模型把这种摩擦形式化：工人和企业在交易中遇到对方需要时间与资源，双方各自优化搜索行为，市场紧度 $\theta=v/u$ 内生决定。

核心假设：(a) 工人和企业是大量、原子化的，忽略单个主体对市场的影响；(b) 匹配是随机的，服从匹配函数 $m(u,v)=Au^\eta v^{1-\eta}$；(c) 工人求职有保留工资策略，企业有自由进入/退出空位的决策；(d) 工资通过 Nash 议价瓜分匹配剩余，而非拍卖出清。

其中"随机匹配"假设最值得解释：它不假设工人和企业按类型完全划分（如高技能工人只遇到高技能企业），而是把所有 $u$ 个失业工人和 $v$ 个空位放进同一个"匹配函数"里随机相遇。这一抽象把复杂的搜索过程压缩为一个宏观生产函数，是 DMP 可估计、可校准的关键。若想引入工人与企业的双向异质性排序（positive assortative matching），则需要 Shimer-Smith 类的扩展匹配函数，识别难度大幅上升。

其中 $A$ 是匹配效率（制度、信息、地理决定），$\eta\in(0,1)$ 是匹配弹性。规模报酬不变假设下，紧度 $\theta=v/u$ 决定工人找到工作概率 $f(\theta)=A\theta^{1-\eta}$ 与企业填位概率 $q(\theta)=A\theta^{-\eta}$。

02 McCall (1970) 保留工资模型

2.1 模型设定与假设解读

McCall (1970) 是工作搜索理论起点。一个失业工人每期：(a) 失业，领失业救济 $c$；(b) 从工资分布 $F(w)$ 抽一个 offer；(c) 决定接受还是拒绝。接受则永久得 $w$（无离职）；拒绝则继续失业到下一期。工人折现因子 $\beta$。

• 为什么无限期：把失业决策看成无穷期 Bellman 问题，保留工资是平稳策略，避免有限期模型中"越接近终点越愿意接受"的非平稳性。
• 为什么工资外生给定：工人是工资接受者，每个 offer 由外生分布 $F(w)$ 抽取，工人不与雇主讨价还价（DMP 才引入议价）。
• 失业补偿金 $c$：是失业的"外部选项"价值，$c$ 越高保留工资越高、失业越久。

2.2 Bellman 方程与保留工资推导

令 $V(w)$ 为拿到 offer $w$ 时的值函数：

第一项"接受"：永久得 $w$，现值 $w/(1-\beta)$。第二项"拒绝"：本期得 $c$，下一期重新抽样。保留工资 $w^*$ 满足"接受"与"拒绝"无差异：

直觉：$c$ 越高、$\beta$ 越大（越有耐心）、$F$ 的上尾越厚，$w^*$ 越高，预期失业持续期越长。找到工作的 hazard 为 $h=1-F(w^*)$，失业持续期服从几何分布，均值 $1/h$。

保留工资方程还揭示一个比较静态：提高失业救济金 $c$ 的边际效应取决于 $\beta/(1-\beta)$ 与上尾积分的乘积。折现因子 $\beta$ 越接近 1（工人越看重未来），$c$ 对 $w^*$ 的提升越敏感——因为今天拒绝一个 offer、明天等到更高 offer 的机会成本下降了。这正是结构估计与简约式回归的区别：简约式只告诉我们"UI 提高使失业持续期延长"，结构估计能进一步告诉我们这一效应通过保留工资渠道、而非通过搜索努力渠道起作用。

03 DMP 匹配模型均衡推导

Diamond-Mortensen-Pissarides (DMP) 把 McCall 的单边搜索扩展为双边：企业创造空位，工人搜索，双方相遇后 Nash 议价分剩余。

3.1 空位价值与自由进入

企业填位后产出为 $p$（劳动生产率），支付工资 $w$，得匹配剩余 $p-w$。空位的 Bellman 方程：

含义：填位后的期望利润现值等于创造并维持空位的期望成本。

3.2 Nash 议价与工资决定

工人与企业按议价力 $\beta$ 瓜分匹配剩余，Nash 解：

其中 $b$ 是工人失业时的非劳动收入（含 $c$）。紧度 $\theta$ 越高（工人越容易找工作），工人议价力越强，工资越高。

3.3 均衡失业率与 Beveridge 曲线

稳态时失业流入（就业→失业）等于流出（失业→就业）：

这就是 Beveridge 曲线：$u$ 与 $v$（经 $\theta$）负相关。联列空位创造、工资议价、Beveridge 曲线三个方程，可解出均衡 $(\theta^*,w^*,u^*)$。推导顺序是：先由自由进入得 $\theta$ 与 $w$ 的负相关曲线（$w$ 越高企业越不愿开空位），再由 Nash 议价得 $w$ 与 $\theta$ 的正相关曲线（紧度越高工人议价力越强），两线交点决定均衡；最后代回 Beveridge 曲线得 $u^*$。这一"三方程联立"是 DMP 的标准解法，也是把摩擦性失业从"外生技术冲击"内生化的关键。

04 估计方法

4.1 匹配函数估计

对 $m_t=Au_t^\eta v_t^{1-\eta}$ 取对数：

直接 OLS 有 simultaneity bias：$m,u,v$ 同时决定。常用工具：滞后 $\log u,\log v$、地区失业率、外生离职率。Petrongolo-Pissarides (2001, JEL) 汇总跨国估计，$\eta$ 在 0.3–0.5 之间。

4.2 失业持续期 MLE

对每个个体 $i$，观测失业持续期 $d_i$，右删失记 $c_i=1$（$c_i=1$ 表示调查结束仍失业）。hazard $h_i(t)$ 的似然：

若 hazard 由 McCall 模型生成 $h_i(t)=f(\theta_i)[1-F(w_i^*)]$，可把结构参数 $(\beta,c,F)$ 与异质性 $\theta_i$ 分布一起 MLE。实践中常用 Cox 比例风险模型作半参对照：$h_i(t)=h_0(t)\exp(x_i'\gamma)$，它不假设 hazard 的参数形式，只识别协变量的相对风险。结构 MLE 与 Cox 的区别在于：结构估计能反推出保留工资与工资分布参数，从而做政策反事实；Cox 只能给相对风险排序。

4.3 结构估计：校准或 SMM

模型需数值解 Bellman 时用 SMM：给定 $\theta=(\beta,c,A,\eta,\delta)$，在电脑里模拟 1000 工人 × 1000 期，计算失业率均值、Beveridge 斜率、持续期中位数、离职率等矩，与数据矩加权最小化。

05 数据要求

常用数据源：美国 CPS (Current Population Survey) 个人层面失业 spells、JOLTS 职位空缺、英国 LFS、中国城镇调查失业率与城镇登记失业人数。中国数据需注意"城镇登记失业"严重低估真实失业（农民工不计入），Beveridge 曲线估计需用 CHIP/CLDS 微观数据补充。此外，宏观 $u,v$ 流量数据在月度频率上更可靠，季度数据会把入职与离职的高频波动平滑掉，导致 $\eta$ 估计偏小。

06 应用解读与反事实福利

DMP 的典型反事实问题：把失业救济 $c$ 提高 10%，会怎样？

• 部分均衡：工人保留工资 $w^*$ 上升，hazard 下降，失业持续期变长。McCall 模型直接给出弹性。
• 一般均衡：企业预期工资上升、利润下降，空位 $v$ 减少，紧度 $\theta$ 下降，进一步降低工人找工作概率。
• 福利：若 Hosios 条件 $\beta=\eta$ 不成立，失业保险的边际福利效应符号取决于 $\beta-\eta$：工人议价力过强 ($\beta>\eta$) 时市场空位本就过低，提高失业保险反而加剧无效率。

最低工资政策的反事实类似：法定最低工资 $w_{min}$ 若超过均衡工资，会同时挤出低生产率匹配、提高在岗工资、减少空位创造，净福利效应必须在 DMP 一般均衡框架内计算，不能只看就业人数变化。

另一个常见反事实是匹配效率冲击（如疫情后远程办公、平台招聘 App 普及）。匹配效率 $A$ 上升使 $f(\theta)$ 与 $q(\theta)$ 同时提高，Beveridge 曲线内移，均衡失业率下降。结构估计可以量化这一效应：在估计出的 $(\eta,\beta,\delta)$ 下，把 $A$ 提高 10%，解出新的 $(\theta^{**},u^{**})$，并与 $A$ 不变时的 $u^*$ 比较。这类反事实正是 DMP 框架相对简约式回归的价值——它把政策或技术冲击通过模型结构传导到失业率，而不只是给出一个相关系数。

07 完整代码

7.1 Python：McCall 保留工资 + 持续期模拟 + 匹配函数估计

# ============================================================
# McCall (1970) 保留工资数值解 + 失业持续期模拟
# + MLE hazard + DMP 匹配函数 OLS
# ============================================================
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize_scalar
from scipy.stats import lognorm
import statsmodels.api as sm

# ---------- 0. 参数 ----------
beta, c = 0.95, 0.4
mu_w, sigma_w = 0.0, 0.3

# ---------- 1. 不动点迭代求保留工资 w* ----------
V_u = c/(1-beta)
for _ in range(2000):
    w_star = (1-beta)*V_u
    draws = np.random.lognormal(mu_w, sigma_w, size=20000)
    acc = draws[draws >= w_star]
    exp_val = (acc.sum()/(1-beta) + V_u*(draws < w_star).sum())/len(draws)
    V_u_new = c + beta*exp_val
    if abs(V_u_new-V_u) < 1e-6: break
    V_u = V_u_new
print(f"保留工资 w* = {w_star:.3f}, 失业值 V_u = {V_u:.3f}")

# ---------- 2. 模拟失业持续期 ----------
def sim_duration(w_star, T_max=200):
    for t in range(1, T_max+1):
        if np.random.lognormal(mu_w, sigma_w) >= w_star:
            return t
    return T_max
durs = np.array([sim_duration(w_star) for _ in range(5000)])
print(f"平均失业持续期 {durs.mean():.2f} 期, 中位数 {np.median(durs):.0f}")
print(f"理论 hazard = {1-lognorm.cdf(w_star, sigma_w, scale=np.exp(mu_w)):.3f}")

# ---------- 3. MLE 估计 hazard ----------
def nll(logit_h, durs):
    h = 1/(1+np.exp(-logit_h))
    unc = durs[durs < 200]; cen = durs[durs >= 200]
    return -(np.sum(np.log(1-h)+(unc-1)*np.log(h)) + np.sum(cen*np.log(h)))
r = minimize_scalar(nll, args=(durs,), method='bounded', bounds=(-5,5))
print(f"MLE hazard = {1/(1+np.exp(-r.x)):.3f}")

# ---------- 4. DMP 匹配函数 OLS ----------
np.random.seed(0); T = 100
A_t, eta_t = 0.6, 0.4
u = 0.05+0.02*np.sin(np.arange(T)/10)+np.random.normal(0,0.005,T)
v = 0.04+0.01*np.cos(np.arange(T)/10)+np.random.normal(0,0.005,T)
m = A_t*u**eta_t*v**(1-eta_t)*np.random.lognormal(0,0.05,T)
X = sm.add_constant(np.column_stack([np.log(u), np.log(v)]))
res = sm.OLS(np.log(m), X).fit()
print(f"匹配函数: A={np.exp(res.params[0]):.3f}(真{A_t}), eta={res.params[1]:.3f}(真{eta_t})")

7.2 Stata：失业持续期生存分析

*==============================================================*
* 失业持续期结构估计：McCall + DMP 匹配函数
*==============================================================*
clear all
use "unemployment_spells.dta", clear
* spell: 失业持续月数; fail: 1=找到工作, 0=右删失
stset spell, fail(fail=1)

* 1. Kaplan-Meier 非参
sts graph, by(gender) title("Survival Function") ///
    xtitle("Months") ytitle("Survival Probability")

* 2. Cox 比例风险
stcox age i.educ i.marr, robust
estimates store cox

* 3. Weibull 参数模型
streg age i.educ i.marr, distribution(weibull) time
estimates store weibull

* 4. DMP 匹配函数（地区月度面板）
use "local_labor_market.dta", clear
xtset region month
reg log_m log_u log_v, robust
estimates store ols
* 用滞后变量 IV 处理 simultaneity
ivregress 2sls log_m log_v (log_u = L.log_u L2.log_u), robust
estimates store iv
esttab ols iv, se star(* 0.1 ** 0.05 *** 0.01) mtitles("OLS" "IV")

08 论文案例与常见错误

8.1 经典论文

8.2 常见错误

方程总清单 / Equation Summary

本页全部方程按出现顺序汇总如下，共 12 个。每个方程均可在正文中找到对应的变量定义、设定理由与经济直觉。