扰动法求解 DSGE：一阶、二阶、三阶近似
为什么一阶线性化够不够？一阶近似里没有"风险"这回事。本页讲扰动法（perturbation）的思想：在稳态附近对决策规则做泰勒展开——一阶（与对数线性化等价）、二阶（捕捉风险溢价与不确定性效应、需 pruning 修剪）、三阶；Dynare 中 order=1/2/3 的使用；并简介全局方法（投影、值函数迭代 VFI、参数化期望 PE），以及何时用扰动法、何时必须上全局法。
本页是 DSGE 基础知识库页面。定位：先单独学会这个工具，再到模型分支里看它怎么用。扰动法是 Dynare 背后的求解引擎——一阶近似等价于对数线性化，二阶/三阶才捕捉风险溢价与不确定性效应。吃透 order=1/2/3 与 pruning 后，再去各分支看它如何被调用。
在哪些模型分支中使用：
RBC 基准模型 ·
NK 三方程 ·
中尺度 SW（二阶 + pruning） ·
小国开放经济 ·
金融摩擦 BGG/GK ·
财政与货币规则 ·
适应性学习
⚠ 注意：TANK 与 HANK 不能只用一阶扰动——异质性主体模型需二阶以上近似或全局法，详见本页高阶章节与 HANK 分支页。
01 为什么一阶近似不够
前面几页用的都是"对数线性化 + 一阶扰动"。这种方法有一个根本缺陷：在一阶近似里，不确定性完全不影响决策规则。原因是线性决策规则对二阶矩（方差）不敏感——把模型在确定性稳态展开到一次项，得到的政策函数只含状态的一次项，任何关于"风险溢价""预防性储蓄""不确定性对稳态的修正"都无法出现。
但现实宏观问题恰恰关心这些二阶量：
- 风险溢价（risk premium）：股权溢价、期限利差在一阶模型里恒为 0。
- 预防性储蓄：收入风险越高，家庭储蓄越多——一阶模型里 $\sigma$ 只影响跨期替代，不影响"风险"。
- 不确定性冲击（uncertainty / volatility shock）： Bloom (2009) 等证明二阶矩冲击本身就是周期驱动力。
- 风险修正稳态（risk-adjusted steady state）：随机模型的"无条件均值"会偏离确定性稳态，距离大小取决于方差。
要捕捉这些，必须把决策规则展开到二阶（甚至三阶）。这就是扰动法高阶近似的动机。
02 扰动法的基本思想
扰动法（perturbation method, Judd 1998；Schmitt-Grohé & Uribe 2004, JEDC）把一个含扰动参数 $\sigma$ 的模型族写出来：当 $\sigma=0$ 时是确定性模型（可精确解出稳态与决策规则）；当 $\sigma=1$ 时是真实的随机模型。然后在 $\sigma=0$ 点附近，把政策规则对状态变量 $x$ 与扰动参数 $\sigma$做多变量泰勒展开。
其中 $x_t$ 是状态变量（资本、滞后产出等），$\sigma$ 控制冲击大小。逐项含义：
03 一阶扰动：与对数线性化等价
一阶扰动只保留 $g_x$ 项，政策规则退化为线性系统：
这与手工对数线性化（见 04 页）得到的状态空间形式在数学上完全等价——Dynare 的 order=1 内部就是自动做这件事，免去手推。但一阶近似的局限如前所述：$g_{\sigma\sigma}=0$，随机均值 = 确定性稳态，没有风险溢价。
04 二阶扰动：风险修正与 pruning
二阶近似的一般形式
最后两项是一阶所没有的：二次项 $\tfrac12 g_{xx}\hat x_t^{\otimes 2}$ 捕捉政策规则的非线性曲率；$\tfrac12 g_{\sigma\sigma}\sigma^2$ 是与状态无关的常数平移——它把决策规则整体上移/下移，正是"风险修正稳态"。在二阶下，家庭因不确定性而多储蓄，稳态的资本存量、利率都与确定性情形不同。
为什么需要 pruning（修剪）
二阶/三阶近似有一个数值陷阱：把二阶政策规则代入下一期状态 $x_{t+1}$，会自动产生高阶项的"幂次爆炸"——比如 $\hat x_t^3$、$\hat x_t^4$ 会在迭代中无界增长，模拟出来的矩发散。这是因为泰勒展开是局部近似，反复迭代会把模拟轨迹推出收敛域。
pruning（修剪）解决办法：把状态拆成"一阶分量"与"二阶分量"两层，只保留到目标阶数允许的项，主动丢弃高阶的交叉积。Kim-Kim-Schaumburg-Synetos (2008, JEDC) 的 pruning 方案成为标准：Dynare 二阶模拟默认启用 pruning。
二阶/三阶模型若不做 pruning，长时间模拟时方差会爆炸、模拟 IRF 出现"伪振荡"甚至 NaN。Dynare 高阶求解后，stoch_simul 的模拟与矩计算都基于已 pruning 的表示；做 IRF 时可对照看修剪前后差异。
05 三阶扰动与 Dynare order 选项
三阶近似再加入 $g_{xxx}$ 与 $g_{x\sigma\sigma}$ 项。$g_{x\sigma\sigma}$ 的特别之处：它让条件波动率（$\sigma_t$ 的变动）影响决策规则——这正是"波动率冲击 / uncertainty shock"的载体。一阶、二阶近似里时变波动率是哑的，三阶才能让"方差冲击"产生一阶矩（产出）反应。
Dynare 中 order 的使用
% ---- 在 .mod 文件结尾 ----
% order=1: 一阶(=对数线性化), 快, 无风险效应
% order=2: 二阶, 捕捉风险溢价/预防性储蓄, 默认 pruning
% order=3: 三阶, 捕捉时变波动率(不确定性冲击)
stoch_simul(order=1, irf=40, nograph) y pi i k;
stoch_simul(order=2, irf=40, nograph) y pi i k;
stoch_simul(order=3, irf=40, nograph) y pi i k;
% 二阶下查看"风险修正稳态": Dynare 打印的 ys (二阶稳态)
% 与一阶 ys 的差即 g_{\sigma\sigma} 平移量
% moments 选项给出二阶/三阶下的无条件矩
stoch_simul(order=2, periods=10000, drop=100) y pi i k;
实务建议：日常估计与 IRF 用 order=1；做福利、股权溢价、风险修正稳态、比较确定性与随机均值时用 order=2；研究不确定性冲击、ZLB 附近尾部风险才用 order=3（计算量约为二阶的数倍）。
06 全局方法简介
扰动法是局部方法：只在确定性稳态附近精确。若要处理强非线性、大状态偏离（如 ZLB 长期持续、极端危机、 occasionally-binding 约束），需要全局方法（global methods），在整个状态空间上近似。三类主流：
| 方法 | 思想 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|
| 投影法 Projection | 用基函数（Chebyshev 多项式）近似政策函数，配残差最小化 | 全域精度可控、多项式经济 | 高维"维度诅咒" |
| 值函数迭代 VFI | 在网格上递归 Bellman 方程直到收敛 | 理论透明、强非线性稳 | 极慢、需精细网格 |
| 参数化期望 PE | 把条件期望用多项式近似并迭代 | 比 VFI 快，适合随机 | 收敛不保证、需好初值 |
全局法代表文献：Judd (1998)；Maliar & Maliar 关于栅格与聚类的系列；Hooks & den Haan 用 HJB 方程的连续时间法。
07 何时用扰动、何时用全局
- 用扰动法：模型规模中等、常态波动、关注线性传导与标准 IRF、做贝叶斯估计（维度高、速度优先）、风险溢价/预防性储蓄（二阶够）。
- 用全局法：ZLB 长期绑定、occasionally-binding 约束、危机式大幅偏离稳态、尾部风险、估值方程类问题（FTPL 极端情形）、需要全域精度的福利计算。
- 混合：先用扰动法快速验证模型机制，发现关键非线性后，再对小维度核心用全局法做"benchmark 校准"。
08 论文案例
09 常见错误与进阶资料
常见错误（≥3）
- order=1 却想讨论风险溢价：一阶近似里股权溢价、预防性储蓄恒为 0，必须 order=2 以上，否则结论无意义。
- 二阶模拟不启用 pruning：长期模拟方差爆炸、IRF 伪振荡。Dynare 默认已处理，但手写高阶解时必须自己做修剪。
- 拿二阶稳态当确定性稳态做 IRF：二阶下 ys 已被 $g_{\sigma\sigma}$ 平移，与 order=1 的稳态不同步；跨阶比较 IRF 时要统一基准。
- 用扰动法硬解 ZLB 长期绑定：扰动在 ZLB 折点附近不收敛，必须上全局法或分段求解。
- 三阶当成银弹：order=3 计算成本高，且对数值精度敏感；只为"不确定性冲击"用它，别日常滥用。
进阶资料
- Judd (1998) Numerical Methods in Economics，扰动与全局方法的理论源头。
- Fernández-Villaverde et al. 关于二阶/三阶近似与时变波动率的综述。
- Dynare 官方
example1.mod、kinetic_pitman.mod（order=3）。 - 下一页《Dynare 求解实操》配套本页 order 选项做 IRF 与矩对比。