Armington 模型：CES 偏好、贸易份额与多国一般均衡

01 模型设定与直觉

Armington (1969) 的核心假设极其简单：产品按来源国差异化。世界有 $N$ 个地区（国家）$i=1,\dots,N$。每个地区只生产一种"国产品"（Armington good），技术规模报酬不变，唯一生产要素是劳动力 $L_i$。地区 $n$ 的消费者把这 $N$ 种国产品放在一个 CES 篮子里消费。

直觉上：法国消费者既要买"法国红酒"，也要买"中国白酒"，这两种东西在他的效用函数里是不完全替代的——哪怕它们在物理上都是酒精饮料。偏好上的"来源国差异"使得每国企业都面临一条向下倾斜的需求曲线，从而即使技术完全相同，贸易也会发生（这是 Armington 模型与 Ricardian 模型最本质的差别：Ricardo 靠技术差异，Armington 靠偏好差异）。

贸易成本采用 iceberg 形式：从 $i$ 运到 $n$ 要付出 $d_{ni}\geq 1$ 的"融化"——即 $d_{ni}$ 单位货物从 $i$ 出发，只有 1 单位抵达 $n$。因此 CIF 价格为：

其中 $p_i$ 是 $i$ 国国产品在产地 $i$ 的 FOB 价格，$t_{ni}$ 是从价从量关税（若有）。注意 $\tau_{ii}=1$（国内运输无成本，无关税），这是后面构造 $\lambda_{ii}$ 的关键。

02 CES 效用与需求函数

$n$ 国代表性消费者的 CES 效用为：

其中 $q_{ni}$ 是 $n$ 国从 $i$ 国购买的数量，$\sigma$ 是替代弹性（elasticity of substitution）。预算约束为 $\sum_i p_{ni} q_{ni} = X_n$，$X_n$ 是 $n$ 国总支出。

第一步：拉格朗日一阶条件（完整推导）

构造拉格朗日函数：$\mathcal{L}=U_n-\lambda_n\left(\sum_i p_{ni}q_{ni}-X_n\right)$。对 $q_{ni}$ 求偏导并令其为零：

对两个不同品种 $i,k$ 分别写出 FOC 并相除，消去 $\lambda_n$ 与 $U_n$，得到边际替代率等于价格比（这是"替代弹性为 $\sigma$"的定义式）：

第二步：代入预算约束消去 $\lambda_n$，定义价格指数

把 (A5) 变形 $q_{ni}=q_{nk}(p_{ni}/p_{nk})^{-\sigma}$ 代入预算约束 $\sum_i p_{ni}q_{ni}=X_n$。先解出 $q_{nk}$：

这就是需求函数。为了让它写成更紧凑的对偶形式，定义 Dixit-Stiglitz 价格指数 $P_n$ 为"获得一单位效用所需的最小支出"：

由 Shephard / 对偶，最小支出下的需求函数为：

这是 CES 模型里最常被引用的式子：每个 variety 的"支出份额"与其相对价格的 $-\sigma$ 次方成正比。当 $\sigma$ 越大，消费者对价格越敏感，价格下降一点点，需求量爆炸式上升。

03 贸易份额与价格指数

贸易份额的完整推导

$n$ 国从 $i$ 国的进口额（trade flow）为 $X_{ni} = p_{ni} q_{ni}$。把需求函数 (A8) 代入：

在完全竞争 + CRS + 归一化生产率 $A_i=1$ 下，产地 FOB 价格 $p_i=w_i$（单位成本），CIF 价格 $p_{ni}=\tau_{ni}w_i$。代入即得：

最后一步我们把产地价格 $p_i$ 写成劳动成本 $w_i$（因为完全竞争 + CRS，$p_i = w_i / A_i$，归一化生产率 $A_i=1$）。这一形式有三个关键性质：

1. $\sum_i \lambda_{ni} = 1$（对每一行 $n$，份额加总为 1）；
2. 当 $\tau_{ni}\uparrow$（贸易成本上升），$\lambda_{ni}\downarrow$，且弹性为 $1-\sigma$（负的，因为 $\sigma>1$）；
3. 价格指数也可以用份额表示：$P_n^{1-\sigma} = (w_n \tau_{nn})^{1-\sigma}/\lambda_{nn} = w_n^{1-\sigma}/\lambda_{nn}$，因为 $\tau_{nn}=1$。

这个式子极重要：它把"价格水平"这一不可观测对象，转化为"可观测的国内贸易份额 $\lambda_{nn}$"和一个参数 $\sigma$。这正是 ACR 福利公式的雏形。

04 一般均衡条件

模型的内生变量是工资向量 $\{w_i\}_{i=1}^N$。给定外生禀赋 $\{L_i\}$ 和贸易成本矩阵 $\{\tau_{ni}\}$，均衡由四个方程（(A11)–(A14)）封闭：

条件 0：收入 = 支出（贸易平衡）

条件 1：产品市场出清（贸易平衡方程）

$i$ 国的工资收入等于其对全世界的销售。$n$ 国花在 $i$ 国产品上的支出为 $\lambda_{ni}X_n$，对所有 $n$ 求和：

条件 2：劳动市场出清

由于 CRS 与完全竞争，$i$ 国对劳动的需求恰好吸纳 $L_i$：$w_i L_i$ 已经是劳动报酬。这一条件与条件 1 重合（Walras's law），所以我们只需要 $N-1$ 个独立的市场出清方程。

条件 3：工资标准化（价格归一）

条件 4：份额加总恒等式（每行归一）

05 福利分解：ACR 充分统计量公式

实际工资（real wage）是衡量福利的标准统计量。在贸易平衡下，$n$ 国代表性工人的实际收入为：

这个结果极其优美：实际工资只取决于国内贸易份额 $\lambda_{nn}$，且与 $\sigma-1$ 互为倒数。直觉：$\lambda_{nn}$ 越低，说明本国消费越依赖外国产品，外国竞争压低了价格指数，工人实际购买力越高。

Autarky（自给自足）对比

在 autarky 下，$\tau_{ni}=\infty$ 对 $n\neq i$，于是 $\lambda_{nn}^{aut}=1$，实际工资 $=1$。在自由贸易（贸易成本有限）下，$\lambda_{nn}<1$，实际工资 $=\lambda_{nn}^{-1/(\sigma-1)}>1$。贸易利得（gains from trade）为：

例如若 $\lambda_{nn}=0.8$（即 80% 消费自本国），$\sigma=5$，则 $G_n = (1/0.8)^{1/4}-1 \approx 5.7\%$。这就是说：开放贸易让该国实际工资比 autarky 高约 5.7%。

从贸易利得到 ACR 公式：反事实福利变化

上面的公式回答了"从 autarky 到开放"的福利差。但量化贸易经济学家真正关心的问题是：当贸易成本从 $\tau$ 变到 $\tau'$（例如关税调整），福利变化多少？定义帽子（hat）记号 $\hat{x}\equiv x'/x$ 表示反事实相对基准的比率。由 $P_n = w_n \lambda_{nn}^{1/(\sigma-1)}$，两边取帽子：

福利（实际工资）的变化为：

ACR 公式成立的三个假设

1. CES 偏好（或等价的 Dixit-Stiglitz 聚合）：保证价格指数能写成 $\lambda_{nn}$ 的闭式函数；
2. 贸易平衡：$X_n=w_n L_n$，没有外生贸易顺差/逆差。若存在贸易赤字 $D_n$，则福利公式要修正为 $\hat{W}_n=\hat{\lambda}_{nn}^{-1/(\sigma-1)}\cdot \widehat{(X_n/(X_n-D_n))}$；
3. 单一生产要素（劳动）：没有其他要素市场的一般均衡反馈。若引入资本或中间品，公式需扩展（Caliendo-Parro 多部门版本）。

这三条假设恰恰是本模型一直在做的。所以 Armington 模型本身就是 ACR 公式的最简载体——理解了它，就理解了 ACR 的全部直觉。

06 反事实求解：精确帽子代数（Exact Hat Algebra）

ACR 公式告诉我们：一旦知道反事实的国内份额 $\lambda_{nn}'$，福利就确定了。但 $\lambda_{nn}'$ 本身需要解一个新的一般均衡。精确帽子代数（Dekle-Eaton-Kortum 2007, 2008）的核心洞见是：我们不需要知道 $\tau_{ni}$、$w_i$ 的绝对水平，只需要知道基准的份额矩阵 $\lambda_{ni}$ 和外生冲击 $\hat{\tau}_{ni}$，就能直接解出帽子 $\hat{w}_i$，进而解出 $\hat{\lambda}_{ni}$。

第一步：份额的帽子方程（逐步推导）

基准份额：$\lambda_{ni}=(w_i\tau_{ni})^{1-\sigma}/\sum_k(w_k\tau_{nk})^{1-\sigma}$。反事实份额：$\lambda'_{ni}=(w'_i\tau'_{ni})^{1-\sigma}/\sum_k(w'_k\tau'_{nk})^{1-\sigma}$。两式相除定义 $\hat x\equiv x'/x$：

第二步：贸易平衡的帽子方程（逐步推导）

基准贸易平衡：$w_iL_i=\sum_n\lambda_{ni}w_nL_n$。反事实：$w'_iL_i=\sum_n\lambda'_{ni}w'_nL_n$（$L_i$ 不变，故 $\hat L_i=1$）。把 $\lambda'_{ni}=\lambda_{ni}\hat\lambda_{ni}$、$w'_n=\hat w_n w_n$ 代入：

这里 $w_n L_n$ 是基准支出（已知数据），$\lambda_{ni}$ 是基准份额（已知数据），未知的只有 $\hat{w}_i$ 和 $\hat{\lambda}_{ni}$。这是一个关于 $\hat{w}$ 的非线性不动点。

第三步：迭代算法（Jacobi 阻尼）

第四步：福利与反事实份额

收敛后，反事实份额 $\lambda_{ni}'=\lambda_{ni}\hat{\lambda}_{ni}$，福利变化直接由 ACR 公式：

07 完整 Python 求解与反事实代码

下面代码实现两层求解：(1) 给定绝对 $\tau$ 矩阵求解基准均衡工资 $w$、份额 $\Lambda$；(2) 用精确帽子代数直接在份额空间做反事实（只需基准份额 + 外生 $\hat{\tau}$ 冲击），并验证 ACR 福利公式。直接复制到 .py 文件即可运行（只需 numpy）。

"""
Armington 多国一般均衡求解器 + 精确帽子代数反事实
- 3 国例子：Home, Foreign1, Foreign2
- Part A: 给定 tau 矩阵求解基准均衡 w, P, Lambda
- Part B: 精确帽子代数反事实（只需基准 Lambda + 外生 tau_hat）
- Part C: 验证 ACR 福利公式 W_hat = lambda_nn_hat^(-1/(sigma-1))
"""
import numpy as np

# ---------- 1. 参数 ----------
N = 3                       # 国家数
sigma = 5.0                 # 替代弹性（常见校准值 4~8）
L = np.array([1.0, 1.0, 1.0])   # 各国劳动力禀赋
tau = np.array([
    [1.0, 1.5, 2.0],
    [1.5, 1.0, 1.8],
    [2.0, 1.8, 1.0],
])

# ---------- 2. 基准均衡求解（绝对空间） ----------
def solve_armington_abs(tau, L, sigma, tol=1e-10, max_iter=20000, damp=0.5):
    N = len(L)
    w = np.ones(N)
    for it in range(max_iter):
        p = w[None, :] * tau
        a = p ** (1.0 - sigma)
        P_row = a.sum(axis=1, keepdims=True)
        Lam = a / P_row
        sales = Lam.T @ (w * L)
        excess = sales / (w * L)
        w_new = w * excess ** damp
        w_new = w_new / np.sum(w_new * L)
        if np.max(np.abs(excess - 1.0)) < tol:
            w = w_new; break
        w = w_new
    p = w[None, :] * tau
    a = p ** (1.0 - sigma)
    P_row = a.sum(axis=1, keepdims=True)
    Lam = a / P_row
    P = P_row.flatten() ** (1.0 / (1.0 - sigma))
    return w, P, Lam

# ---------- 3. 精确帽子代数反事实 ----------
def solve_armington_hat(Lam0, X0, tau_hat, sigma, tol=1e-10,
                        max_iter=100000, damp=0.2):
    """
    输入:
      Lam0   (N,N) 基准贸易份额 (行 n = 进口国)
      X0     (N,)  基准总支出 w_n L_n
      tau_hat(N,N) 外生冲击的帽子 tau'/tau
    输出:
      w_hat, lam_hat, Lam1 (反事实份额)
    注意: 更新规则用算术阻尼 w_new=(1-damp)*w+damp*impl，
          不要用几何阻尼 w*(impl/w)^damp —— 后者在本模型下会
          收敛到一个违反 Walras 定律的伪不动点（见"常见错误"节）。
    """
    N = len(X0)
    w_hat = np.ones(N)
    for it in range(max_iter):
        # 3.1 份额帽子方程: lam_hat[n,i] = (w_hat[i]*tau_hat[n,i])^(1-sigma)
        #                                / sum_k Lam0[n,k]*(w_hat[k]*tau_hat[n,k])^(1-sigma)
        num = (w_hat[None, :] * tau_hat) ** (1.0 - sigma)          # (N,N)
        den = (Lam0 * num).sum(axis=1, keepdims=True)              # (N,1)
        lam_hat = num / den
        # 3.2 贸易平衡帽子方程: w_hat[i] = sum_n Lam0[n,i]*lam_hat[n,i]*w_hat[n]*X0[n] / X0[i]
        sales1 = (Lam0 * lam_hat).T @ (w_hat * X0)
        w_hat_implied = sales1 / X0
        # 3.3 算术阻尼更新（关键：不要用几何阻尼）
        w_hat_new = (1.0 - damp) * w_hat + damp * w_hat_implied
        w_hat_new = w_hat_new / np.sum(w_hat_new * X0)
        if np.max(np.abs(w_hat_implied / w_hat - 1.0)) < tol:
            w_hat = w_hat_new; break
        w_hat = w_hat_new
    # 反事实份额
    Lam1 = Lam0 * lam_hat
    return w_hat, lam_hat, Lam1

# ---------- 4. 基准均衡 ----------
w, P, Lam = solve_armington_abs(tau, L, sigma)
X = w * L
print("=" * 55)
print("基准均衡")
print(f"  工资 w          = {np.round(w, 4)}")
print(f"  实际工资 w/P     = {np.round(w/P, 4)}")
print(f"  国内份额 lambda_nn = {np.round(np.diag(Lam), 3)}")
gains = (1.0 / np.diag(Lam)) ** (1.0 / (sigma - 1.0)) - 1.0
print(f"  贸易利得 vs Autarky = {np.round(gains*100, 2)} %")

# ---------- 5. 反事实：Home 对 Foreign1 加 25% 关税 ----------
tau_hat = np.ones((N, N))
tau_hat[0, 1] = 1.25   # 仅 Home 对 F1 的贸易成本上升 25%
w_hat, lam_hat, Lam1 = solve_armington_hat(Lam, X, tau_hat, sigma)

# ACR 福利公式
W_hat_ACR = np.diag(Lam1) / np.diag(Lam)
W_hat_ACR = W_hat_ACR ** (-1.0 / (sigma - 1.0))

print("\n" + "=" * 55)
print("反事实：Home 对 F1 加 25% 关税（帽子代数）")
print(f"  工资帽子 w_hat           = {np.round(w_hat, 4)}")
print(f"  国内份额 lambda_nn: {np.round(np.diag(Lam),3)} -> {np.round(np.diag(Lam1),3)}")
print(f"  ACR 福利变化 W_hat       = {np.round(W_hat_ACR, 4)}")
print(f"  对应福利变化率           = {np.round((W_hat_ACR-1)*100, 3)} %")

# 对照：用绝对空间重解
tau_cf = tau.copy(); tau_cf[0, 1] *= 1.25
w2, P2, Lam2 = solve_armington_abs(tau_cf, L, sigma)
W_check = (w2/P2) / (w/P)
print(f"  绝对空间重解 W 变化率     = {np.round((W_check-1)*100, 3)} %  (应与 ACR 一致)")

08 校准参数与数据来源

$\sigma$（替代弹性 = 贸易弹性 + 1）

Armington 模型里唯一需要外部校准的结构参数就是 $\sigma$。它同时承担两个角色：(1) 需求侧任意两国产品之间的替代弹性；(2) 贸易份额对贸易成本的弹性为 $1-\sigma$，因此"贸易弹性"（trade elasticity，即贸易流对冰山成本变化的弹性）为 $\sigma-1$。经验文献对 $\sigma-1$ 的估计值集中在 4–10 区间：

• Eaton & Kortum (2002)：用 OECD 国家引力回归估计 $\theta\approx 8.28$，在 Armington 对应物下即 $\sigma-1\approx 8.28$，$\sigma\approx 9.28$。这是 QSGE 文献最常引用的"基准贸易弹性"。
• Simonovska & Waugh (2014)：用结构引力 + 价格数据重新估计，得到 $\theta\approx 4$ 左右，对应 $\sigma\approx 5$。这是更保守、更现代的估计值。
• Feenstra et al. (2014)：区分"母国-外国"Armington 弹性与"外国-外国"弹性，发现前者偏小、后者偏大，建议在 4–8 之间做敏感性分析。
• 行业差异：农产品/原材料替代弹性高（$\sigma$ 大），差异化制成品 $\sigma$ 小。多部门模型应分行业校准。

数据来源（具体变量与口径）

下表给出构造基准份额矩阵 $\lambda_{ni}$ 与做反事实时每一步用到的具体数据库与变量名。论文里必须逐一交代，不能只写"来自公开数据库"。

冰山成本 $\tau_{ni}$ 的两种构造方法

冰山成本不可直接观测，文献里有两条标准路径：

1. 从贸易份额反推（structural inversion，最常用）：由份额公式 $\lambda_{ni}/\lambda_{nn}=(\tau_{ni})^{1-\sigma}$（归一化 $w_i=w_n$ 时），得 $$\tau_{ni}=\left(\frac{\lambda_{nn}}{\lambda_{ni}}\right)^{1/(\sigma-1)}$$ 再用国内贸易成本归一 $\tau_{nn}=1$。这一方法不需要估引力方程，直接从数据份额矩阵读出 $\tau$ 的相对水平——是量化贸易论文的默认做法（Head & Mayer 2014 综述）。
2. 引力方程残差法：估计结构引力 $\ln X_{ni}=\alpha_i+\beta_n-(1-\sigma)\ln\tau_{ni}$，令 $\ln\tau_{ni}=\beta_1\ln dist_{ni}+\beta_2\,contig_{ni}+\beta_3\,comlang_{ni}+\beta_4\,colony_{ni}+\cdots$，把拟合的 $\ln\tau_{ni}$ 指数化得到 $\tau_{ni}=\exp(\widehat{\ln\tau_{ni}})$，再归一化使 $\tau_{nn}=1$。优点是能分解"距离/语言/殖民"各自的贡献；缺点是要处理多边阻力（Anderson-van Wincoop 2003 提醒：必须用国固定效应或 PPML 估计）。

构造基准份额矩阵的标准流程

1. 从 WIOD/ICIO 取 $N$ 国 × $N$ 国双边采购矩阵 $X_{ni}$（$n$ 国从 $i$ 国采购的总额）；
2. 对每一行 $n$ 归一化：$\lambda_{ni}=X_{ni}/\sum_k X_{nk}$；
3. 国内份额 $\lambda_{nn}$ 由行内对角元直接读出；
4. 基准总支出 $X_n=\sum_k X_{nk}$，用于帽子代数的权重；
5. 工资 $w_n L_n$ 在贸易平衡假设下等于 $X_n$，无需单独估 $w_n$ 与 $L_n$。

这一流程的好处是：你不需要观测 $w_n$ 或 $\tau_{ni}$ 的绝对水平，所有基准信息都在 $\lambda_{ni}$ 里。这正是帽子代数在实证上可行的原因。

09 论文案例

10 常见错误与进阶

进阶资料

• Feenstra, R. C. (2016), Advanced International Trade: Theory and Evidence, Chapter 5。
• Anderson, J. E. (1979), "A Theoretical Foundation for the Gravity Equation", AER——Armington 模型如何自然产生引力方程。

∑ 方程总清单 · Equation Summary

本模型共 20 个方程，按推导顺序编号如下。每个方程都在正文中给出完整推导、变量定义与经济直觉。