Redding-Rossi-Hansberg 空间一般均衡：通勤、贸易与土地市场

01 经济环境与假设

传统新经济地理（Krugman 1991）与跨区贸易模型（Eaton-Kortum 2002）把"地区"当作无内部结构的点。Redding & Rossi-Hansberg (2017, Econometrica 工作母机版 / Annual Review of Economics 综述) 把城市内部空间结构、跨区贸易、通勤选择与土地市场出清统一到一个可量化、可估计、可反事实的一般均衡框架。

核心假设清单（每条附设定理由 / 参数含义 / 经济直觉）：

• 假设 A1：$N$ 个区位、外生土地供给 $H_n$、总人口 $\bar L$。经济由 $N$ 个离散区位（census tract / 城市 / 省）组成。理由：离散区位是"量化"的前提——若区位连续则无法用矩阵代数求数值解；外生 $H_n$ 把地理约束（河流、海岸线、坡度）固化为供给侧刚性。参数含义：$H_n$ 是 $n$ 地有效住房/土地存量，$\bar L$ 是总人口（封闭经济）。直觉：土地是唯一不可贸易的"固定因子"，一切集聚力最终都被地价对冲。
• 假设 A2：居住地与工作地分离（commuting）。工人住在 $n$，可到任意 $i$ 工作，产生通勤成本 $\kappa_{ni}$。理由：这是 RRH 相对经典 EK（人随岗走）的核心新增——把"住哪"与"在哪上班"分开，模型才能回答地铁、学区、产业园的空间溢出。参数含义：$\kappa_{ni}\geq 1$ 是 $n\to i$ 的通勤摩擦（时间+货币+心理），$\kappa_{nn}=1$（在家上班）。直觉：北京国贸上班、燕郊居住正是 $B_{n,\text{国贸}}>0$ 的现实写照。
• 假设 A3：Fréchet 双重冲击。生产率 $z_i(\omega)\sim \text{Fréchet}(T_i,\theta)$、通勤偏好 $b_{j,ni}\sim \text{Fréchet}(B_{ni},\kappa)$。理由：极值分布的"独立最大值仍同分布"性质（Gnedenko 极值定理）使贸易份额、通勤概率都有闭式，避免模拟大量企业/个人。参数含义：$\theta$ 是贸易弹性（生产率离散度，越大→生产率越同质→贸易越敏感），$\kappa$ 是通勤偏好异质性（越大→工人对工资差越敏感）。直觉：每个工人对"住燕郊去国贸"有专属偏好（有人受不了通勤、有人无所谓），Fréchet 把这种异质聚合成宏观通勤流。
• 假设 A4：Cobb-Douglas 偏好，消费份额 $\beta$、住房份额 $1-\beta$。理由：CD 函数支出份额固定，使住房支出占收入比例恒为 $1-\beta$，住房出清方程可直接写成 $Q_n H_n=(1-\beta)\cdot\text{收入}$。参数含义：$\beta\approx 0.75\sim 0.8$（美国消费支出中住房约占 20–25%，故 $1-\beta\approx 0.2\sim 0.25$）。直觉：房价直接进间接效用 $V\propto w/(P^\beta Q^{1-\beta})$，这是房价资本化（capitalization）的源头。
• 假设 A5：iceberg 贸易成本 $d_{ni}\geq 1$，$d_{nn}=1$。理由：iceberg 形式省去运输部门建模，1 单位货物从 $i$ 出发只有 $1/d_{ni}$ 到达 $n$；与 EK 兼容。参数含义：$d_{ni}$ 可从 GIS 最短路径时间/运费/关税构造，是政策（高铁、关税）的直接作用对象。直觉：$d_{ni}\downarrow$ → 到岸价 $\downarrow$ → $n$ 地从 $i$ 进口份额 $\pi_{ni}\uparrow$ → $i$ 地产品市场扩大 → $w_i\uparrow$。

符号与参数总表

三条线在一般均衡中相互反馈：工资高的工作区位吸引通勤者；通勤者多的居住区位推高地价；高地价降低实际收入，反过来抑制居住需求；贸易成本下降提升市场准入，改变工资与人口分布。RRH 证明在合理参数条件下该高维不动点系统存在唯一均衡，可用"迭代—收缩"算法高效求解。这正是它成为当代量化空间经济学（QSE）工作母机的原因。

与上一页结构引力的"单一均衡方程"不同，RRH 的复杂度来自内生变量的数量：工资向量 $\{w_n\}$、房价向量 $\{Q_n\}$、居住人口向量 $\{L_n\}$、工作人口向量 $\{L_n^w\}$、通勤矩阵 $\{\lambda_{ni}\}$、贸易矩阵 $\{\pi_{ni}\}$，它们两两耦合。初学者最容易犯的错，就是把这些变量当成独立方程单独求解，忽略反馈环。本页后面的 5 步迭代算法与 Python 求解器，本质上是把这一高维耦合系统按"贸易 → 通勤 → 房价 → 工资"的顺序拆开，用阻尼更新保证收敛。

02 偏好、技术与贸易

2.1 偏好

$C_n$ 是 CES/EK 复合消费品，$H_n$ 是住房消费，$z_{j,n}$ 是工人 $j$ 居住在 $n$ 的区位偏好冲击，服从 Fréchet：$F_n(z)=\exp(-B_n z^{-\epsilon})$。$B_n$ 是平均宜居度，$\epsilon$ 是偏好异质性（越大流动性越高）。

2.2 生产与贸易（EK 变体）

$\theta$ 是贸易弹性（Fréchet 形状参数），$T_i$ 是 $i$ 地生产率水平。iceberg 成本 $d_{ni}\geq 1$，到岸价 $p_{ni}(\omega)=(w_i/(z_i(\omega)A_i))d_{ni}$。

这套 EK 技术模块与上一页结构引力完全一致——贸易份额 $\pi_{ni}$ 就是引力方程在 EK 下的闭式。RRH 并没有改写贸易理论，而是把 EK 嵌入到一个更丰富的空间结构中：$n$ 与 $i$ 现在同时是"消费地"与"居住/工作地"，价格指数 $P_n$ 既决定消费品成本，也通过间接效用影响居住选择。这种"同一组方程服务多个市场"的设计，是量化空间模型可解的关键——避免了为每个市场单独设定一个独立的需求系统。

03 通勤选择的 Fréchet 分布

这是 RRH 相对经典 EK 的核心新增模块。工人住在 $n$，可选任意 $i$ 工作。从 $n$ 到 $i$ 的通勤成本 $\kappa_{ni}$ 以效用损失表示，工人 $j$ 对通勤路径 $n\to i$ 有 idiosyncratic 偏好冲击 $b_{j,ni}$：$G_{ni}(b)=\exp(-B_{ni} b^{-\kappa})$，$\kappa>1$。

居住在 $n$、工作在 $i$ 的间接效用为：

其中 $w_i$ 是 $i$ 地名义工资，$Q_n$ 是居住在 $n$ 的房价，$P_n$ 是 $n$ 地复合消费品价格指数，$b_{j,ni}$ 是工人 $j$ 对通勤路径 $n\to i$ 的 idiosyncratic 偏好冲击。记区位 $n$ 的市场实际收入指数为 $R_n\equiv Q_n^{1-\beta}P_n^\beta$（居住成本+消费成本），则 $V_{ni}=(w_i/R_n)\,b_{j,ni}$。

3.1 完整逐步推导（禁止跳步）

Step 0 · 分布假设。偏好冲击 $b_{j,ni}$ 独立同 Fréchet，尺度参数 $B_{ni}$、形状参数 $\kappa$：

Step 1 · 单一选项效用的 CDF。把 $V_{ni}=(w_i/R_n)b_{j,ni}$ 代入，$V_{ni}\le v$ 等价于 $b_{j,ni}\le vR_n/w_i$：

记 $A_{ni}\equiv B_{ni}\,(w_i/R_n)^{\kappa}$，则 $F_{V_{ni}}(v)=\exp(-A_{ni}v^{-\kappa})$，密度 $f_{V_{ni}}(v)=\kappa A_{ni}v^{-\kappa-1}\exp(-A_{ni}v^{-\kappa})$。

Step 2 · 最大值事件。工人选 $i$ 当且仅当 $V_{ni}\ge V_{nk}\;\forall k$。对所有 $k\ne i$ 同时积分：

解释：以 $V_{ni}=v$ 为条件（密度 $f_{V_{ni}}(v)$），要求其余所有 $V_{nk}\le v$（独立故连乘 CDF）。

Step 3 · 代入 CDF 与密度，合并指数。把 Step 1 的 $f$ 与 $F$ 代入：

其中 $S_n\equiv\sum_{k=1}^N A_{nk}=\sum_k B_{nk}(w_k/R_n)^\kappa$。

Step 4 · 变量替换 $u=S_n v^{-\kappa}$。由 $u=S_n v^{-\kappa}$ 得 $v=(S_n/u)^{1/\kappa}$，微分 $du=-\kappa S_n v^{-\kappa-1}dv$，即 $dv=-\dfrac{v^{\kappa+1}}{\kappa S_n}du=-\dfrac{1}{\kappa S_n}\left(\dfrac{S_n}{u}\right)^{(\kappa+1)/\kappa}du$。换上下限：$v:0\to\infty$ 对应 $u:\infty\to 0$：

Step 5 · 代回 $A_{ni}$ 得闭式。

其中 $B_{ni}$ 与通勤成本矩阵对应：$B_{ni}=\kappa_{ni}^{-\alpha}=\exp(-\alpha\ln\kappa_{ni})$，$\alpha$ 是通勤成本弹性，$\kappa$ 是通勤偏好异质性。解读：$w_i$ 越高、$B_{ni}$ 越大，通勤概率越高；$Q_n$ 越高，居住在 $n$ 的吸引力下降。

由此 $n$ 地居住人口、$i$ 地工作人口为（由工人对居住地的 Fréchet 选择，与上面 Step 4 同法可推出居住份额正比于 $n$ 地"可通勤机会总和"$\sum_i B_{ni}(w_i/R_n)^\kappa$）：

04 土地市场出清与工资方程

4.1 住房市场出清

每个工人把 $(1-\beta)$ 份额收入花在住房上。$n$ 地居住者的总工资收入为 $\sum_i \lambda_{ni} L_n w_i$，住房需求等于住房供给 $H_n$：

直觉：居住人口越多、平均工资越高，$Q_n$ 越高；土地供给 $H_n$ 越大，$Q_n$ 越低。注意住房需求方是居住者 $L_n$ 的收入，不是工作岗位 $L_i^w$ 的工资——初学者最常混淆 $n$ 与 $i$。

4.2 工资方程（贸易平衡 + 零利润）

右边是 $i$ 地产品在所有市场的销售额（消费品支出 $\beta$ 份额），左边是 $i$ 地工资总额。企业零利润条件 + 产品市场出清联合决定 $w_i$。

4.3 均衡条件汇总

05 均衡求解：5 步嵌套迭代

5.1 存在性与唯一性

RRH (2017) 证明：当 $d_{ni}\geq 1$、$d_{nn}=1$、$B_{ni}$ 不可约、$\theta,\kappa>1$ 时，不动点系统存在唯一（可归一化的）均衡。证明思路是把系统写成关于 $\{w_i\}$ 的 contraction mapping（Alvarez-Lucas 2007 与 Redding 2016 的 Gronwall 不等式）。模型齐次，必须归一化工资（如 $\sum_i w_i=1$），否则数值解无意义。

唯一性的政策含义很重要：模型不会出现 Krugman 新经济地理那种"多重均衡+自实现预期"的不确定性。给定外生参数 $\{d_{ni}, B_{ni}, T_i, H_n\}$，均衡的 $(\hat w_n, \hat Q_n, \hat L_n)$ 是唯一确定的，反事实不需要做均衡选择，也不需要讨论"预期协调失败"。这把 RRH 与早期 NEG 文献的主要区别点了出来：RRH 放弃了"不完全竞争+需求侧规模报酬递增"，换取了一个干净、可计算、唯一的反事实工作母机。

实际求解用嵌套不动点迭代：外循环工资，内循环房价+人口。

06 Python 求解器（numpy 嵌套迭代）

# ============================================================
# Redding-Rossi-Hansberg (2017) 空间一般均衡求解器
# 模块：贸易(EK) + 通勤(Frechet) + 土地市场出清
# ============================================================
import numpy as np

def solve_rrh(N=10, theta=4.0, kappa=6.0, beta=0.75,
              tol=1e-7, maxiter=5000, damp=0.5, seed=42,
              B_shock=None):
    """
    求解 RRH 均衡。
    B_shock: 可选 (N,N) 数组，对 B_ni 做外生冲击（反事实用）
    """
    rng = np.random.default_rng(seed)
    T = rng.uniform(0.8, 1.2, size=N)      # 生产率
    H = rng.uniform(0.8, 1.2, size=N)      # 住房供给
    Lbar = 1.0
    dist = rng.uniform(0.5, 2.0, size=(N, N))
    d = np.exp(0.3 * dist)                  # 贸易成本
    np.fill_diagonal(d, 1.0)
    B = np.exp(-0.2 * dist)                 # 通勤便利度
    np.fill_diagonal(B, 2.0)
    if B_shock is not None:
        B = B * B_shock                     # 反事实：降低通勤成本

    w = np.ones(N) / N
    Q = np.ones(N)
    for it in range(maxiter):
        # Step 1: 价格指数 + 贸易份额
        A = T[None, :] * (w[None, :] * d) ** (-theta)
        P = np.sum(A, axis=1) ** (-1.0 / theta)
        pi = A / np.sum(A, axis=1, keepdims=True)

        # Step 2-3: 内循环 房价+人口 不动点
        for inner in range(200):
            real_inc = w[None, :] / (Q[:, None] ** (1 - beta)
                                      * P[:, None] ** beta)
            attr = np.sum(B * real_inc ** kappa, axis=1)
            lam = B * real_inc ** kappa / attr[:, None]
            L = Lbar * attr / attr.sum()
            Lw = np.sum(lam * L[:, None], axis=0)
            wage_inc = np.sum(lam * w[None, :], axis=1) * L
            Q_new = (1 - beta) * wage_inc / H
            if np.max(np.abs(Q_new - Q)) < 1e-9:
                Q = Q_new; break
            Q = 0.5 * Q_new + 0.5 * Q

        # Step 4: 工资更新
        cons_exp = beta * np.sum(lam * w[None, :], axis=1) * L
        sales_i = np.sum(pi * cons_exp[:, None], axis=0)
        w_tilde = sales_i / Lw
        w_tilde = w_tilde / w_tilde.sum()
        w_new = damp * w_tilde + (1 - damp) * w
        w_new = w_new / w_new.sum()
        err = np.max(np.abs(w_new - w))
        w = w_new
        if err < tol:
            print(f"收敛于第 {it} 轮, err={err:.2e}"); break

    return dict(w=w, Q=Q, L=L, Lw=Lw, P=P, pi=pi, lam=lam)

if __name__ == "__main__":
    sol = solve_rrh(N=8)
    print("均衡工资:", np.round(sol["w"], 3))
    print("均衡房价:", np.round(sol["Q"], 3))
    print("通勤矩阵行和=1:",
          np.allclose(sol["lam"].sum(axis=1), 1.0))

6.1 结构反推（inversion）：从观测均衡恢复 $T_i$ 与 $B_{ni}$

实际估计时，我们观测到的是基准均衡 $\{w_n^0,Q_n^0,P_n^0,L_n^0,\lambda_{ni}^0,\pi_{ni}^0\}$，而不是外生的 $T_i,B_{ni}$。RRH 方法的妙处在于：把观测均衡代回均衡方程，可逐行反解出使模型恰好拟合数据的 $T_i$ 与 $B_{ni}$。

• 反推 $T_i$：由 $\pi_{ni}=T_i(w_i d_{ni})^{-\theta}/\sum_k T_k(w_k d_{nk})^{-\theta}$，对固定 $i$ 取 $n=i$ 一行：$\pi_{ii}=T_i(w_i d_{ii})^{-\theta}/\sum_k T_k(w_k d_{ik})^{-\theta}$。归一化 $\sum_i T_i=1$ 后，$T_i\propto \pi_{ii}(w_i d_{ii})^\theta$。
• 反推 $B_{ni}$：由 $\lambda_{ni}=B_{ni}(w_i/R_n)^\kappa/\sum_k B_{nk}(w_k/R_n)^\kappa$，对固定 $n$ 取 $i=n$ 一行：$\lambda_{nn}=B_{nn}(w_n/R_n)^\kappa/\sum_k B_{nk}(w_k/R_n)^\kappa$。结合观测的 $\lambda_{ni}$，可逐比例恢复 $B_{ni}$ 的相对值（尺度自由度用 $B_{nn}=1$ 归一化）。

# ============================================================
# 结构反推：从观测均衡恢复 T_i 与 B_ni（RRH inversion）
# 输入：观测到的基准均衡 w0, Q0, P0, lam0, pi0, d, theta, kappa, beta
# 输出：结构外生对象 T_i, B_ni 的相对值（尺度已归一化）
# ============================================================
import numpy as np

def invert_rrh(w0, Q0, P0, lam0, pi0, d, theta, kappa, beta):
    N = len(w0)
    # --- 1. 反推 T_i：用对角份额 pi_ii ---
    # pi_ii = T_i (w_i d_ii)^(-theta) / sum_k T_k(w_k d_ik)^(-theta)
    # 对 i 求和：sum_i pi_ii = 1 仅给归一化；用 i 行等式取比
    # T_i ∝ pi_ii * (w_i * d_ii)^theta / (sum_k T_k(w_k d_ik)^(-theta))
    # 迭代不动点求解（因为分母仍含 T）
    T = np.ones(N) / N
    for _ in range(2000):
        A = T[None, :] * (w0[None, :] * d) ** (-theta)   # (n,i)
        denom = A.sum(axis=1)                            # 每行分母
        T_new = np.array([pi0[i, i] * denom[i]
                          for i in range(N)])
        T_new = T_new / T_new.sum()
        if np.max(np.abs(T_new - T)) < 1e-12:
            T = T_new; break
        T = 0.5 * T_new + 0.5 * T

    # --- 2. 反推 B_ni：固定 n 行，lam_ni = B_ni*a_ni / sum_k B_nk*a_nk ---
    # a_ni = (w_i / R_n)^kappa, R_n = Q_n^(1-beta) P_n^beta
    R = Q0 ** (1 - beta) * P0 ** beta
    a = (w0[None, :] / R[:, None]) ** kappa              # (n,i)
    # 对固定 n：B_ni 未知，但 lam_nn = B_nn*a_nn / sum_k B_nk*a_nk
    # 令 b_nk = B_nk*a_nk，则 lam_nk = b_nk / b_n·；故 b_nk = lam_nk * b_n·
    # 再除 a_nk 得 B_nk：B_nk = lam_nk * b_n· / a_nk
    # 自由度 b_n· 未知：归一化 B_nn = 1
    B = np.zeros((N, N))
    for n in range(N):
        b_dot = a[n, n] / lam0[n, n]                    # 由 B_nn=1 反推
        B[n, :] = lam0[n, :] * b_dot / a[n, :]
    return T, B

# 用法：先跑 solve_rrh 得到基准解，再用观测份额做 inversion；
# 反事实只需要帽子冲击（hat d, hat B），不需要 T、B 的水平值。

07 参数估计

7.1 通勤弹性 $\kappa$ 的估计

对通勤概率取对数：

用观测到的通勤 OD 矩阵 $\lambda_{ni}^{\text{data}}$、观测工资 $w_i^{\text{data}}$、观测房价 $Q_n^{\text{data}}$，以"在家通勤" $\lambda_{nn}$ 为基准取 ratio，加 pair 固定效应吸收 $B_{ni}/B_{nn}$，即可 OLS/IV 估计 $\kappa$。典型值 $\kappa\approx 4\sim 8$（Ahlfeldt et al. 2015 柏林墙案例估得约 6）。

7.2 通勤成本弹性 $\alpha$

把 $B_{ni}=\kappa_{ni}^{-\alpha}=\exp(-\alpha\ln\kappa_{ni})$ 代入：$B_{ni}$ 随通勤时间 $\kappa_{ni}$ 指数下降。$\alpha$ 可从"通勤时间变化对通勤概率的影响"识别（如地铁开通前后的 OD 变化）。

7.3 数据要求与具体来源

RRH 估计需要四类微观数据，缺一不可。下表给出中美两套可直接落地的数据源：

实操提醒：(i) 中国 2010 与 2020 人口普查长表已公开"居住地—工作地"匹配样本，可直接构造地级市内部/跨市通勤矩阵；(ii) CMDS（流动人口动态监测）是中国唯一的个体级迁移面板，可同时识别迁移成本与通勤成本；(iii) 房价用挂牌价会系统性高估，必须用成交价或指数化环比；(iv) GIS 通勤时间要用公共交通方式（地铁/公交），不能用驾车时间——否则低估地铁开通的处理效应。

7.4 校准与结构反推

除了从回归估出 $\kappa$ 与 $\alpha$，剩下的结构未观测变量（生产率 $T_i$、宜居度 $B_n$、通勤便利度残差 $\tilde B_{ni}$）需要用基准均衡反推（inversion）：把观测到的均衡 $\{w_n^0, Q_n^0, L_n^0, \lambda_{ni}^0\}$ 代回均衡方程，反解出使模型恰好拟合数据的 $\{T_i, B_n, \tilde B_{ni}\}$。这一步是"帽子代数"的前提——反事实只需要这些外生对象的相对变化，不需要水平值。校准顺序上，务必先固定 $\theta,\kappa,\alpha,\beta$ 再反推，否则参数与未观测便利度会同时漂移，识别不唯一。

08 福利分析与帽子代数

8.1 工人平均福利

完整推导：最大值 $V_n^{\max}=\max_i V_{ni}$ 服从 Fréchet 分布，尺度参数为 $\sum_i B_{ni}(V_n^*)^\kappa$。Fréchet 分布的期望为 $E[X]=\Gamma(1-1/\kappa)\cdot(\text{scale})^{1/\kappa}$（由 Gamma 函数定义 $\Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}dt$，对 $E[X]=\int_0^\infty[1-F(x)]dx$ 做变量替换 $u=(\text{scale})x^{-\kappa}$ 即得）：

全经济平均福利 $\bar U=\sum_n L_n\bar U_n/\bar L$。

8.2 福利变化的三分解

对数线性化 $\ln\bar U_n$，可把反事实 $\hat U_n$ 分解为三条渠道：

• (a) 市场准入效应：价格指数 $P_n$ 下降（贸易成本↓ → 进口品种多 → 价格低），实际工资↑；
• (b) 土地价格效应：人口流入 → $Q_n$↑，侵蚀实际工资；
• (c) 选址效应：通勤便利度 $B_{ni}$ 改善 → 工人可去更高 $w_i$ 工作地，期望效用↑。

三者相互反馈，不可单独估计——这正是联合建模的价值。

8.3 精确帽子代数 · 完整方程组

反事实只需基准均衡份额。把每个原方程两边取帽子 $\hat x=x'/x$，整理如下：

帽子代数在 RRH 中的优势特别明显：基准校准只需要观测到的份额 $\pi_{ni}^0$ 与 $\lambda_{ni}^0$，不需要把未观测的 $B_{ni}$、$T_i$ 水平值算出来。给定冲击 $\hat d_{ni}$ 或 $\hat B_{ni}$，迭代 $\hat w_n$ 与 $\hat Q_n$ 即可。这把"校准"与"反事实"解耦，是量化空间模型能在 50+ 区位规模上快速重算政策的关键。

09 反事实：通勤基础设施改善

考虑"修地铁"使某条廊道的通勤便利度 $B_{ni}$ 上升 20%（即 $\hat B_{ni}=1.2$，其他不变）。用上面的 solve_rrh(B_shock=...) 重解，对比 $\hat U_n$。

# ============================================================
# 反事实：通勤廊道改善 + 福利计算
# ============================================================
import numpy as np

# 1. 基准均衡
base = solve_rrh(N=8, theta=4.0, kappa=5.0, beta=0.75)

# 2. 反事实：假设 n=0 到 i=1 的通勤便利度 +20%
B_shock = np.ones((8, 8))
B_shock[0, 1] = 1.2   # 从 0 居住、1 工作
B_shock[1, 0] = 1.2   # 反向对称

cf = solve_rrh(N=8, theta=4.0, kappa=5.0, beta=0.75,
               B_shock=B_shock)

# 3. 福利变化（平均效用帽子）
# 简化：用实际工资 U_n = w_n / (P_n^beta Q_n^(1-beta))
def real_welfare(sol, beta=0.75):
    return sol["w"] / (sol["P"]**beta * sol["Q"]**(1-beta))

U0 = real_welfare(base); U1 = real_welfare(cf)
U_hat = U1 / U0
print("福利变化 U_hat_n (按区位):")
print(np.round(U_hat, 4))
print("加权平均福利变化:",
      np.round(np.sum(base["L"] * U_hat) / base["L"].sum(), 4))
# 直觉：廊道两端区位福利↑，远端区位变化小

典型结果

• 廊道两端区位 $L_n$ 重新分配（居住向 0、就业向 1 集中）；
• 市中心房价 $Q_n$ 上升，远郊相对下降；
• 总福利 $\hat U>1$，但分布不均——土地所有者获益多于工人。

政策含义：交通基础设施投资的收益并不均匀落在廊道两端，而是通过房价资本化（capitalization）部分转移给存量房主。如果评估者只看工资变化，会高估工人实际福利；如果只看总福利，会低估分配不平等。RRH 框架的优势是能同时输出 $\hat w_n, \hat Q_n, \hat L_n, \hat U_n$ 四张分布图，让政策制定者看到"谁受益、谁受损"。此外，通勤成本下降的福利效应高度依赖 $\kappa$ 的校准——$\kappa$ 越大（工人对工资差越敏感），地铁开通引发的居住—工作分离越剧烈，房价空间分化越显著；$\kappa$ 越小，福利主要被通勤时间节省直接吸收，空间重组有限。

10 论文案例与常见错误

难度与前置

常见错误（5 条）

进阶资料

• Redding (2020), "Workhorse Tools in QSE", Handbook of Regional and Urban Economics Vol.5。
• Desmet & Rossi-Hansberg (2013), "Urban Accounting and Welfare", AER。
• EDX/CEPR "Quantitative Spatial Economics"（Stephen Redding 主讲）。

∑ 方程总清单 · Equation Summary

本模型共 12 个核心方程 + 帽代数方程组 (RRH12)，按推导顺序编号如下。