基准回归：OLS、固定效应与聚类标准误

01 为什么需要固定效应：从 OLS 到面板

实证研究的第一步永远是问："我手上的变异（variation）到底来自哪里？"如果你只有一期横截面数据，regress y x 就是全部武器。但当你拿到了面板数据（panel data）——同一个体 $i$ 在多期 $t$ 被重复观测——你立刻拥有了两样新东西：个体间变异（between variation）和个体内变异（within variation）。OLS 把这两种变异混在一起用，于是只要个体存在不随时间变化、但又与解释变量相关的不可观测特征（unobserved time-invariant heterogeneity），估计就会产生遗漏变量偏误（omitted variable bias）。

固定效应模型（fixed effects, FE）的核心思想极其朴素：与其去"控制"那些看不见的特质，不如直接给每个个体一个"专属截距" $\alpha_i$。这样一来，回归识别用的全部是同一个体在不同时点上的纵向变化（within transformation），任何不随时间变化的混淆因素（例如企业所在地的文化、个体的性别、创始人的能力）都被这个 $\alpha_i$ 一次性吸收掉了。进一步地，如果你还担心所有个体在同一时点受到共同冲击（year shock、宏观周期、政策大年），你再加一组时间固定效应 $\gamma_t$，这就是双向固定效应（two-way fixed effects, TWFE）。

需要立刻提醒的是：FE 只能吃掉不随时间变化的混淆变量。如果遗漏变量是时变的（time-varying confounder），FE 毫无办法——这正是后面 IV、DID、RDD 这些"识别策略"要登场的原因。

02 形式化：双向固定效应模型

本页最重要的一个回归方程，几乎所有现代面板实证论文的"主回归表"都是围绕它搭建的：

其中：$i$ 为个体（firm / county / state / person），$t$ 为年份；$\alpha_i$ 是个体固定效应（吸收一切个体层面不随时间变化的特征）；$\gamma_t$ 是时间固定效应（吸收所有个体共同面临的年份冲击）；$\mathbf{Z}_{it}$ 是一组时变控制变量；我们真正关心的系数是 $\beta_1$。

Stata 中实现这一模型，命令经历了三代：

• xtreg y x i.year, fe：传统 FE 命令，但吸收大量虚拟变量时极慢，且标准误处理不够灵活；
• areg y x i.year, absorb(id)：用 LSDV（least squares dummy variable）的思路一次性吸收 $\alpha_i$，比 xtreg 快；
• reghdfe y x, absorb(id year) vce(cluster id)：目前论文中事实标准。它通过 Frisch–Waugh–Lovell 定理（FWL）把高维固定效应"扫出去"，再对残差做 OLS，速度快、内存省，并且可以任意叠加多组高维 FE（例如 industry × year、firm × province）。

Frisch–Waugh–Lovell（FWL）定理：虚拟变量、交乘项与固定效应的统一视角

reghdfe 能"无形地"吸收上万个虚拟变量，背后的数学基石是 Frisch–Waugh–Lovell 定理（Frisch & Waugh 1933；Lovell 1963；Angrist & Pischke 2009 给出了现代因果解释）。定理说：在多元回归 $y = x\beta + D\gamma + \varepsilon$ 中（$D$ 是一组虚拟变量，如个体 FE 或时间 FE），系数 $\hat{\beta}$ 等价于"先用 $D$ 把 $y$ 和 $x$ 分别投影取残差，再用 $x$ 的残差对 $y$ 的残差做一元 OLS"：

其中 $M_D=I-D(D'D)^{-1}D'$ 是把 $D$ 张成空间投影出去的残差生成矩阵。这一视角把三件看似不同的事统一了起来：(1) 虚拟变量回归——加一组个体虚拟变量，本质上就是先把 $y$ 和 $x$ 都按组内均值"去掉"（within transformation）；(2) 交乘项 / 调节效应——交互项系数同样可以理解为"把主效应残差化之后再估计"；(3) 固定效应——$\alpha_i$、$\gamma_t$ 不过是更庞大的虚拟变量组，reghdfe 反复做的去均值就是 $M_D$ 投影。三者不是三套技巧，而是同一个 FWL 偏除定理在不同维度上的应用。

03 聚类标准误的直觉与公式

教科书 OLS 假设误差项同方差、且观测之间相互独立。但在面板数据里，这两个假设几乎一定被违反：同一个体 $i$ 在 $t$ 期和 $t+1$ 期的扰动项高度相关（serial correlation），同一年份不同地区的扰动也相关（cross-sectional dependence）。如果继续用普通 OLS 标准误，你会把标准误算得过小，t 值虚高，从而把不显著的结果"洗"成显著——这是顶刊审稿人最容易一眼抓出来的硬伤。

Cluster-robust standard errors（Liang–Zeger 1986；Arellano 1987；后来 Cameron–Gelbach–Miller 2011 系统化为 multi-way clustering）的思想是：在同一 cluster 内部，误差可以任意相关；只要求不同 cluster 之间相互独立。对系数 $\hat{\beta}$ 的协方差矩阵，cluster-robust 估计为：

其中 $g$ 是 cluster index（例如 firm、county、state），$G$ 是 cluster 数量，$\hat{u}_g$ 是该 cluster 内所有观测的残差向量。注意最后那两个自由度修正因子——cluster 数量 $G$ 太少时（经验阈值 < 40–50），cluster robust 标准误会严重偏小，必须用 wild cluster bootstrap 做推断。

04 FE / RE 选择：F 检验与 Hausman 检验

在写主回归之前，你需要决定用固定效应还是随机效应（random effects, RE）。两者的关键差异在于对 $\alpha_i$ 的假设：FE 允许 $\alpha_i$ 与 $x_{it}$ 任意相关；RE 则强制 $Cov(\alpha_i, x_{it})=0$。RE 更有效率（更省方差），但这个零相关假设极其强。

05 完整 Stata 代码（reghdfe + esttab）

下面这段代码用 Stata 自带的 nlswork 面板数据（全国青年纵向调查）演示：从 OLS 起步，逐步加入个体 FE、时间 FE、聚类标准误，最后用 esttab 一键导出三线表。整段代码可以直接在 Stata 中运行。

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* 基准回归完整演示：OLS -> FE -> TWFE -> 聚类标准误 -> esttab 导出
* 数据：Stata 自带 nlswork（面板：id 为工人，year 为年份）
*==============================================================*
clear all
set more off
capture log close
log using "baseline_regression.log", replace

* --- 0. 安装所需外部命令（首次运行取消注释） ---
* ssc install reghdfe, replace
* ssc install ftools,   replace
* ssc install estout,   replace
* ssc install esttab,  replace

* --- 1. 加载数据并构造面板 ---
sysuse nlswork.dta, clear
xtset idcode year                 // 声明面板：个体 id，时间 year

* 关键变量：
*   ln_wage   被解释变量：工资对数
*   grade     个体受教育年限（时变程度小）
*   age       年龄
*   tenure    在当前雇主的 tenure
*   south / smsa / race   常用控制变量

* --- 2. 模型 (1)：朴素 Pooled OLS（不推荐，仅作对照） ---
regress ln_wage grade age i.south i.smsa
estimates store m1

* --- 3. 模型 (2)：单向个体固定效应 xtreg, fe ---
xtreg ln_wage grade age i.south i.smsa i.year, fe
estimates store m2

* --- 4. 模型 (3)：areg 吸收 id，加年份 FE ---
areg ln_wage grade age i.south i.smsa i.year, absorb(idcode)
estimates store m3

* --- 5. 模型 (4)：reghdfe 双向固定效应 + 双向聚类 ---
reghdfe ln_wage grade age i.south i.smsa, ///
    absorb(idcode year) vce(cluster idcode)
estimates store m4

* --- 6. 模型 (5)：再加一维行业聚类（多向聚类） ---
reghdfe ln_wage grade age i.south i.smsa, ///
    absorb(idcode year) vce(cluster idcode year)
estimates store m5

* --- 7. Hausman 检验：FE vs RE ---
xtreg ln_wage grade age i.south i.smsa i.year, fe
estimates store FE
xtreg ln_wage grade age i.south i.smsa i.year, re
estimates store RE
hausman FE RE, sigmamore

* --- 8. 用 esttab 导出论文级三线表 ---
* 横向并排展示 5 个模型；括号中放标准误；显示星号；删除虚拟变量行
esttab m1 m2 m3 m4 m5 using "table_baseline.rtf", replace ///
    b(%9.3f) se(%9.3f) star(* 0.10 ** 0.05 *** 0.01) ///
    stats(N r2 r2_a, fmt(0 3 3) labels("观测值" "R^2" "调整 R^2")) ///
    drop(*.year *.smsa *.south) ///
    mtitles("Pooled OLS" "xtreg FE" "areg" "reghdfe 单向聚类" "reghdfe 双向聚类") ///
    title("表 X：受教育年限对工资的影响") ///
    nogaps compress

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06 论文案例精读