RDD 断点回归：Sharp / Fuzzy RDD 与 rdrobust 实务
Regression Discontinuity Design (RDD) 是最接近随机实验的准实验方法。当处理分配完全由一个连续变量（running variable）是否越过某个阈值（cutoff）决定时，阈值附近的个体就如同被"随机分配"。本页讲清 Sharp RDD、Fuzzy RDD、局部线性回归、带宽选择、协变量连续性检验与排序检验。
rdrobust、rdplot、rdlocrand、rddensity）。01 RDD 的直觉：running variable 与 cutoff
想象一个奖学金发放规则：考试分数 ≥ 60 分的学生获奖学金，< 60 分的没有。你想知道奖学金对后续学业表现的影响。当然不能直接比较"获奖 vs 未获奖"——分数高的学生本来就更优秀。但 RDD 的洞见是：刚好考 59.5 分和刚好考 60.5 分的学生，在能力、努力、运气等所有维度上几乎是随机的，唯一的系统差异就是那 1 分以及由此带来的奖学金资格。于是我们只需要比较 cutoff 两侧很窄窗口内的个体，就能近似得到因果效应。
RDD 的两个核心概念：
- Running variable (assignment variable / score)：决定处理分配的连续变量 $X$。例如考试分数、年龄、降雨量距离阈值的偏差、企业规模距离某线的距离。
- Cutoff (threshold)：阈值 $c$。当 $X \ge c$ 时被处理，$X < c$ 时未被处理（或反过来）。
02 Sharp RDD 的形式化
当处理分配完全由 running variable 决定（$X \ge c \Rightarrow D=1$，$X < c \Rightarrow D=0$，没有例外），这就是 Sharp RDD（精确断点）。Sharp RDD 的处理效应就是结果函数 $E[y|X]$ 在 cutoff 处的跳跃：
直观上，我们在 cutoff 左右两侧分别拟合 $y$ 关于 $X$ 的回归，然后在 $X=c$ 处读出两条回归线的预测值之差。这个差值就是处理效应。注意它只对恰好位于 cutoff 处的子总体（compliers at the margin）有因果解释，外推到其他位置需要额外假设。
03 Fuzzy RDD 的形式化
现实中政策规则往往不那么"硬"：例如"分数 ≥ 60 的学生应该获奖学金"，但有人考了 60.5 分却因为其他原因没拿到，有人考了 59.5 分却通过申诉拿到了。处理分配 $D$ 在 cutoff 处不是从 0 跳到 1，而只是概率上有一个跳跃——这就是 Fuzzy RDD（模糊断点）。
Fuzzy RDD 本质上是一个局部 IV：cutoff 指示变量 $1(X \ge c)$ 是处理变量 $D$ 的工具变量。估计量是"结果的跳跃"除以"处理概率的跳跃"：
分子就是 Sharp RDD 风格的结果跳跃；分母是处理概率的跳跃（在 Sharp RDD 下它恒等于 1，所以 Fuzzy RDD 就退化成 Sharp RDD）。
04 局部线性回归与带宽选择（IK / CCT）
RDD 的估计不在全样本上做，而在 cutoff 附近一个很窄的带宽 $h$ 内做。常用 局部线性回归（local linear regression）：
其中 $K(\cdot)$ 是核函数（triangular kernel 最常用），$h$ 是带宽。我们关心的系数是 $\tau$。
带宽选择
带宽 $h$ 太小 → 样本太少，方差大；带宽太大 → 把 cutoff 远处非线性的关系扯进来，偏误大。最优带宽由数据自动选择，最常用两个：
- IK (Imbens–Kalyanaraman, 2012)：RDD 专用的最优带宽选择。
- CCT (Calonico–Cattaneo–Titiunik, 2014)：目前
rdrobust默认带宽，对偏误修正更稳健。
报告 rdrobust 默认 CCT 带宽结果作为主回归；同时报告 IK 带宽、0.5×h、2×h 作为稳健性。如果结果在这些带宽下都稳健，说明结论不是带宽选择的产物。
05 协变量连续性与排序检验 rddensity
RDD 的核心识别假设是：在 cutoff 处，除了处理变量本身跳跃外，其他所有东西都连续。这包括：
- 协变量连续：年龄、性别、教育这些不应该被处理影响的协变量，在 cutoff 两侧应该平滑过渡。如果它们在 cutoff 处也跳跃，说明个体在 manipulate running variable——RDD 不成立。检验方法：对每个协变量跑一次 rdrobust，系数应该不显著。
- 密度连续（排序检验，McCrary test / rddensity）：running variable 的分布在 cutoff 处应该平滑。如果 cutoff 附近样本数异常多（例如刚好 60 分的学生远多于 59 分的），说明个体在 manipulation（例如老师改卷时"手下留情"把 59 分改成 60 分）。Stata 命令
rddensity X, c(cutoff)直接检验。
06 完整 Stata 代码（rdrobust / rdplot / rddensity）
下面这段代码用 Stata 内置的 rdrobust 配套模拟数据演示完整 RDD 流程。所有命令都是 RDD 论文里的事实标准。
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* RDD 完整演示：Sharp RDD + Fuzzy RDD + rdplot + rddensity
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clear all
set more off
set seed 20260911
* --- 首次运行安装 ---
* ssc install rdrobust, replace
* ssc install rddensity, replace
* ssc install lpdensity, replace
* --- 1. 构造 RDD 模拟数据 ---
* running variable X ~ Uniform(-1, 1)，cutoff c=0
* 处理规则：X >= 0 时 D=1（Sharp）
* 真实处理效应 tau = 0.8
set obs 2000
gen X = (runiform()*2 - 1) // running variable, c=0
gen D = (X >= 0)
gen eps = rnormal()
gen y = 0.5 + 0.3*X + 0.8*D + 0.1*X*D + eps
gen age = 30 + 5*X + rnormal()*3 // 协变量：应在 cutoff 处连续
gen female = rbinomial(1, 0.5 + 0.1*X) // 协变量：应在 cutoff 处连续
* --- 2. Sharp RDD 主回归：rdrobust ---
* y 是结果，X 是 running variable，c(0) 指定 cutoff
rdrobust y X, c(0)
* 输出包括：
* Coef. (在 cutoff 处的跳跃)
* Conventional / Bias-corrected / Robust 三种置信区间
* 带宽 h_left, h_right
* --- 3. 画 RDD 图：rdplot ---
rdplot y X, c(0) ///
title("RDD：奖学金对后续学业表现的影响") ///
ytitle("后续 GPA") xtitle("入学考试分数（距 cutoff 的距离）") ///
graph_options(legend(off))
* --- 4. 带宽敏感性分析：0.5h, h, 2h ---
rdrobust y X, c(0) h(0.2)
rdrobust y X, c(0) h(0.4)
rdrobust y X, c(0) h(0.8)
* --- 5. 三角核 vs 矩形核 vs 局部二次 ---
rdrobust y X, c(0) kernel(triangular) p(1)
rdrobust y X, c(0) kernel(uniform) p(1)
rdrobust y X, c(0) kernel(triangular) p(2)
* --- 6. Fuzzy RDD：处理分配不完全由 X 决定 ---
* 假设 D 在 X>=0 时以 0.8 概率为 1，X<0 时以 0.2 概率为 1
replace D = (X >= 0 & runiform()<0.8) | (X<0 & runiform()<0.2)
gen y_fuzzy = 0.5 + 0.3*X + 0.8*D + eps
* Fuzzy RDD：用 c(0) 处的虚拟变量作为 D 的工具
rdrobust y_fuzzy X, c(0) fuzzy(D)
* 等价于局部 IV：cutoff indicator 是 D 的工具
* --- 7. 协变量连续性检验（placebo outcome） ---
* 对 age、female 跑 rdrobust，系数应不显著
rdrobust age X, c(0)
rdrobust female X, c(0)
* --- 8. 排序检验 / 密度检验（McCrary 类） ---
rddensity X, c(0) plot
* 原假设：running variable 的密度在 cutoff 处连续
* 不拒绝 → 没有 manipulation，RDD 识别有效
* 拒绝 → 个体在 manipulate running variable，RDD 失效
* --- 9. 导出结果 ---
* rdrobust 结果可以用 esttab 导出，也可以用 outreg2
* rdrobust 没有 estimates 范式，建议手工记录系数和稳健标准误
06b 前沿扩展：Honest CI、Donut RDD、带宽敏感性与操纵检验
上面 s4–s6 是 RDD 的"标配流程"。本节补上 2018 年以来审稿人最常追问的四块进阶内容：(1) 当回归函数在断点处有曲率时，传统置信区间 coverage 不足，需要 Honest / bias-aware CI；(2) 怀疑断点附近有 sorting/操纵时，用 Donut RDD 把最可疑的一小圈观测挖掉再估；(3) 带宽选择不能只报一个数字，要做 IK / CCT 双口径 + 带宽敏感性曲线；(4) 密度操纵检验从 McCrary (2008) 升级到 Cattaneo–Jansson–Ma (2018) 的 rddensity。
6b.1 Honest confidence intervals（诚实置信区间）
问题：传统局部线性 RDD 的置信区间（rdrobust 的 conventional CI）默认"在给定带宽下把估计量当渐近正态"。但 Kolesár & Rothe (2018, AER) 证明：当条件期望函数 $m(x)=E[y|X=x]$ 在断点附近有曲率（二阶导不为零）、尤其当 running variable 离散（如年龄按岁、分数按整分计）时，局部线性估计量的偏误 $O(h^2)$ 不随带宽缩小而按渐近理论消失，CI 的实际 coverage 会显著低于名义 95%——也就是说你以为的"95% 置信区间"可能只覆盖 80%。
两条修正路线：
- Bias-aware / conditional unbiased CIs（CCT 路线）：用同一数据先估偏误，做 bias-correction 再用 robust 标准误——这正是
rdrobust默认输出的 Bias-corrected / Robust CI（CCT 2014, Econometrica）。它对渐近偏误稳健，但仍假设带宽按速率趋于零。 - Honest CIs（Kolesár–Rothe / Armstrong–Kolesár 路线）：不再依赖带宽趋于无穷的渐近论，而是显式给二阶导上界 $M$ 加约束（bounded second derivative，$|m''(x)|\le M$），在整个函数类 $\mathcal{F}(M)$ 上最小化最坏情形 coverage。只要真实曲率不超过 $M$，区间就有 95% 的保证覆盖，带宽固定也行。
直观：Honest CI = 渐近正态区间 再往外扩一段 $M h^2$，把"曲率可能带来的最坏偏误"直接吃进区间半径里。$M$ 越大区间越宽，但越安全；实务中常用数据估出的二阶导稳健上界来设 $M$。
目前 rdrobust（Stata）没有现成的 honest 选项；honest/BSD CI 的事实标准实现是 R 包 RDHonest（Kolesár 维护）。下面 Stata 代码给出"手动 bias-aware 区间"的等价写法（先 rdbwselect 选带宽，再用 rdrobust 自带的 bias-corrected robust CI），并在注释里给出 R 端 RDHonest 的对应命令。论文中若用 honest CI，建议在附录报 R 包结果，正文用 CCT robust CI。
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* Honest / bias-aware CI 演示：Kolesar-Rothe(2018) 思想的 Stata 等价
* 数据沿用 s6：X ~ U(-1,1), cutoff c=0, tau=0.8
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set seed 20260911
set obs 2000
gen X = (runiform()*2 - 1)
gen D = (X >= 0)
gen eps = rnormal()
* 故意加入曲率（X 的二次项），制造 honest CI 要对付的情形
gen y = 0.5 + 0.3*X + 0.15*X^2 + 0.8*D + eps
* --- (a) rdrobust 自带的 bias-corrected robust CI（CCT 路线） ---
* 默认即输出 Conventional / Bias-corrected / Robust 三套 CI
rdrobust y X, c(0) kernel(triangular) p(1)
* 论文主报 "Robust" 那一列：它已经把偏误估计并校正、用稳健 SE。
* --- (b) 手动选带宽：rdbwselect（CCT IK 口径都能出） ---
* mserd = IMSE 最优（CCT 默认）
* cerrd = coverage-error-rate optimal（CI 专用，更接近 honest 思想）
rdbwselect y X, c(0) deriv(0) kernel(triangular) p(1) bwselect(mserd)
rdbwselect y X, c(0) deriv(0) kernel(triangular) p(1) bwselect(cerrd)
* 把上面返回的带宽 h 记下来：
* e(h_l), e(h_r) 为 CCT 最优；cerrd 为 CI 专用带宽
* --- (c) 手动 bias-aware / honest 区间（Stata 等价写法） ---
* 思路：估计局部线性 tau_hat 与 SE；
* 再用数据估二阶导上界 M，把偏误界 M*h^2 加进半宽。
local h = 0.4
* 局部线性估计（三角核）
gen w = (abs(X)<=`h') * (1 - abs(X)/`h') // 三角核权重
reg y D c.X#i.D [aw=w] if abs(X)<=`h', vce(robust)
scalar tau = _b[D]
scalar se = _se[D]
* 用断点两侧局部二次回归估二阶导上界 M（粗略：取两侧 |二阶导| 的较大值）
reg c.X##c.X if X<0 & abs(X)<=`h'
scalar m_lo = abs(_b[c.X#c.X])
reg c.X##c.X if X>=0 & abs(X)<=`h'
scalar m_hi = abs(_b[c.X#c.X])
scalar M = max(m_lo, m_hi)*1.2 // 留 20% 安全余量
scalar bias = M*`h'^2 // worst-case 偏误界
scalar hw = invnormal(0.975)*se + bias // honest 半宽
display "honest CI: [" tau - hw ", " tau + hw "] (M=" M ", bias=" bias ")"
* --- (d) R 端真正的 honest CI（论文推荐，附录给出） ---
* R: library(RDHonest)
* RDHonest(y ~ X, cutoff=0, M=NULL)
* # M=NULL 时用数据估二阶导上界；也可手动 M=0.5
* 输出：honest 95% CI，带宽固定即可，不要求 h→0。
6b.2 Donut RDD（甜甜圈 RDD）
原理：当怀疑个体在断点处有 sorting / 操纵 / 数据堆积（heaping）时，离断点越近的观测越可能是"精确卡线"的操纵者（例如老师把 59.5 分批改到 60 分、自报身高在 170cm 扎堆）。Donut RDD 的做法是：把断点周围一个宽度为 $d$ 的小窗口 $|X-c|\le d$ 内的观测直接挖掉，再在剩下的"甜甜圈"上做局部线性 RDD。被挖掉的正是最可能被操纵的那一圈；远处的观测操纵成本高、相对干净。
适用场景：(i) 密度检验在断点处显著（bunching）；(ii) running variable 离散且在阈值附近 heaping；(iii) 制度上明确知道个体能在阈值附近做小幅操纵（分数、申报指标、考核线）。代价：丢掉了离断点最近、本来最"随机"的观测，方差变大——所以 Donut RDD 是稳健性检验，不是替代主回归；若 donut 后系数仍接近主回归，说明结果不是操纵那一小圈堆出来的。
① 由数据堆积证据定：直方图上 bunching 的那几个 bin 宽度；② 由制度定：如分数按整分计，就挖 $|X-c|\le 0.5$；③ 报告多档 $d$（如 0.2、0.3、0.5）的结果表。禁止：试了好几个 $d$，挑"系数最显著"的那个写进正文。
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* Donut RDD：挖掉断点附近 d 宽的一圈再估计
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set seed 20260911
set obs 2000
gen X = (runiform()*2 - 1)
gen D = (X >= 0)
gen eps = rnormal()
gen y = 0.5 + 0.3*X + 0.8*D + 0.1*X*D + eps
* --- 主回归（不挖洞）作为基准 ---
rdrobust y X, c(0)
* --- Donut：先手动挖掉 |X| <= d，再跑 rdrobust ---
local d = 0.1 // donut 半径，由制度/堆积证据定
gen keep_donut = (abs(X) > `d') // 挖掉断点周围 ±0.1
rdrobust y X if keep_donut, c(0)
* rdrobust 仍会在剩余样本里自动选带宽；断点处 now 是一个"洞"。
* --- 多档 donut 宽度做稳健性表 ---
foreach d in 0.05 0.1 0.2 {
gen keep`d' = (abs(X) > `d')
rdrobust y X if keep`d', c(0)
drop keep`d'
}
* 报告：主回归 tau≈0.8；d=0.05/0.1/0.2 下 tau 仍显著为正且接近 0.8。
* --- 配合密度检验：先 rddensity 看哪里 bunching ---
rddensity X, c(0) plot
* 若断点右侧样本异常多 → 操纵嫌疑 → donut 稳健性更要做。
6b.3 带宽选择深化：IK、CCT 与带宽敏感性图
s4 已提到 IK 与 CCT。这里把它落成可执行流程，并补一张带宽敏感性图（bandwidth sensitivity plot）——审稿人越来越要求看到"系数随带宽怎么变"。
- IK（Imbens & Kalyanaraman, 2012, ReStud）：RDD 专用最优带宽，最小化渐近 MSE，带宽口径
bwselect(ik)。 - CCT（Calonico, Cattaneo & Titiunik, 2014, Econometrica）：
rdrobust默认的mserd（IMSE 最优），并配套 bias-corrected robust CI；CI 专用口径cerrd。 - 带宽敏感性：在 $0.5h^\ast$、$h^\ast$、$2h^\ast$ 下分别估计，画"横轴=带宽、纵轴=tau 估计值 + 95%CI"的图。若结论只在某一个带宽下成立，就是 cherry-picking bandwidth。
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* 带宽选择：IK vs CCT + 带宽敏感性曲线
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set seed 20260911
set obs 2000
gen X = (runiform()*2 - 1)
gen D = (X >= 0)
gen y = 0.5 + 0.3*X + 0.8*D + 0.1*X*D + rnormal()
* --- 1. IK 最优带宽（rdbwselect_2014 / rdrobust 内 bwselect(ik)） ---
rdrobust y X, c(0) bwselect(ik)
* --- 2. CCT 默认 IMSE（rdrobust 默认，等价 bwselect(mserd)） ---
rdrobust y X, c(0) bwselect(mserd)
* --- 3. CI 最优带宽 cerrd ---
rdbwselect y X, c(0) bwselect(cerrd)
* --- 4. 带宽敏感性：循环跑 h = 0.2,0.3,...,0.8，存系数 ---
tempname bmat
postfile `bmat' double(h tau se) using "bw_sens.dta", replace
foreach h in 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 {
rdrobust y X, c(0) h(`h')
post `bmat' (`h') (e(tau_bc)) (e(se_rb)) // bias-corrected 系数 + robust SE
}
postclose `bmat'
use "bw_sens.dta", clear
gen lo = tau - 1.96*se
gen hi = tau + 1.96*se
twoway (rcap lo hi h, lcolor(navy%60)) ///
(scatter tau h, mcolor(navy) msymbol(O)), ///
yline(0, lcolor(red) lpattern(dash)) ///
ytitle("处理效应 tau") xtitle("带宽 h") ///
title("带宽敏感性图：tau 随 h 的变化") ///
legend(label(1 "95% CI") label(2 "tau 估计"))
* 读图：tau 应在各带宽下稳定为正；若只在某一个 h 显著，需警惕。
6b.4 McCrary 密度检验与 rddensity（操纵检验）
s5 已用 rddensity。这里把两代方法讲清楚：
- McCrary (2008, JoE)：开创性地提出"检验 running variable 密度在断点处是否连续"来识别 manipulation。经典实现是 Stata 命令
DCdensity（需手动 bin + 选两个调参）。原假设 $H_0$：密度 $f(x)$ 在 $c$ 处连续；拒绝 → 个体在精确操纵 running variable。 - Cattaneo–Jansson–Ma (2018, Stata Journal 18(1):234–261)：用局部多项式密度估计重做这一检验，免去预分 bin、自动选带宽（
rdbwdensity），size 性质更好、在额外约束下功效更高。Stata 命令rddensity（配套lpdensity）。这是目前的默认做法。
rddensity X, c(0) 输出断点两侧密度比的估计、z 值与 p 值。p>0.05 → 不拒绝密度连续，无 manipulation 证据，RDD 识别安全；p<0.05 → 密度在断点处跳跃，说明有 bunching，必须上 donut RDD / 协变量连续性 / 制度解释。注意：密度检验不拒绝 ≠ 一定没有操纵（功效问题），但拒绝 = 明确的红旗。
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* 操纵检验：McCrary (2008) 与 rddensity (CJM 2018)
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* ssc install rddensity, replace
* ssc install lpdensity, replace
* ssc install DCdensity, replace // 经典 McCrary（可选，做对照）
set seed 20260911
set obs 3000
gen X = (runiform()*2 - 1)
* --- (a) 新版：rddensity（Cattaneo-Jansson-Ma 2018，默认做法） ---
rddensity X, c(0)
* 自动选带宽；输出断点处密度跳跃的 z/p 值 + 密度比。
rddensity X, c(0) plot // 画断点两侧局部多项式密度 + CI
rddensity X, c(0) bwselect(comb) // 组合带宽选择
* --- (b) 经典：DCdensity（McCrary 2008），做对照 ---
* DCdensity X, breakpoint(0) generate(x1 f1 se1) graph
* 需手动指定 bin 与 bandwidth；与 rddensity 结论互证。
* --- (c) 若显著 → 三件事 ---
* 1) 报告 bunching 出现在断点哪一侧（直方图）；
* 2) 做 Donut RDD（见 6b.2）作为稳健性；
* 3) 用制度语言解释：谁有动机/能力在断点附近操纵？
07 论文案例与常见错误
论文案例
DCdensity。RDHonest。本页 6b.1 的方法依据。bwselect(ik)。rdrobust 默认输出 "Robust" 列的依据。rdbwdensity），size 性质优于经典 McCrary。Stata 命令 rddensity 的出处。本页 6b.4 的方法依据。常见错误
如果 running variable 在 cutoff 处有 manipulation（个体精确地操纵分数越过阈值），RDD 识别假设就被破坏。必须报告 rddensity 检验的 p 值。
RDD 的识别只在 cutoff 附近成立。用全样本 OLS 等于假设 $E[y|X]$ 在整个定义域上线性，这几乎不成立。必须在 $[c-h, c+h]$ 窗口内做局部回归。
带宽选择有主观性。必须报告默认带宽、IK 带宽、0.5h、2h 多档结果，证明结论对带宽不敏感。
协变量应该在 cutoff 处连续。如果某个协变量在 cutoff 处也跳跃，那它要么被处理影响（不该作为协变量），要么说明 running variable 被操纵。必须对所有预处理协变量跑一次 rdrobust。
RDD 估计的是"边际上的局部处理效应"（treatment effect at the cutoff），不能直接说"政策对所有人都有这个效果"。
当 $E[y|X]$ 在断点附近有曲率、尤其 running variable 离散时，常规局部线性 CI 的实际 coverage 会低于名义 95%（Kolesár–Rothe 2018）。主回归必须报 rdrobust 的 Bias-corrected / Robust 列；若 running variable 高度离散，附录补 RDHonest 的诚实 CI。
rddensity 显著 = 断点附近有 bunching/操纵。正确做法是报告多档 donut 宽度（如 0.05/0.1/0.2）下的系数稳定性；直接忽略密度检验的 p 值继续报主回归，等于把红旗当装饰。
RDD 的事实标准是局部线性（p=1）+ 三角核。在宽窗口上拟合 p=3/4 的全局多项式会在端点附近剧烈振荡、外推扭曲；多项式阶数必须事前按规则定，不能"试到显著为止"。
进阶资料
- Cattaneo, Idrobo & Titiunik (2020) — A Practical Introduction to Regression Discontinuity Designs (Cambridge Elements)：最实用的 RDD 操作手册。
- Imbens & Lemieux (2008) — "Regression discontinuity designs: A guide to practice", Journal of Econometrics。
- 张航、范子英等中文教程 — 国内经济学者整理的 rdrobust 实操笔记。