动态空间一般均衡：迁移 Bellman、值函数迭代与转移动态
本页自包含：多地点动态迁移决策（Bellman 方程）→ Type-I 极值积分推出迁移概率 → 人口运动定律 → 每期静态 EK 均衡 → 稳态 Perron-Frobenius 主特征向量 → 向后迭代值函数 / 向前人口运动的完整 Python 求解器 → 贸易自由化与户籍改革的动态反事实 + 论文案例。
01 经济环境与假设
上一页 RRH 空间一般均衡与 贸易+迁移+土地都是静态框架：工人在各区间无成本（或一次性成本）地选择居住地，模型只求解单一均衡。但现实中的迁移是一个动态决策：一个在郑州工作的人今天是否搬去深圳，不仅取决于两地今天的工资差，还取决于"明年深圳的机会会怎样"——他要权衡迁移成本 $\tau_{ni}^{mig}$ 与未来一生的期望收入流。Caliendo-Dvorkin-Parro (2019, Econometrica) 把这一前瞻决策与 EK 静态贸易模块嵌套，开创了"动态空间一般均衡"（Dynamic Spatial GE）这一工作母机。
核心假设清单（每条附设定理由 / 参数含义 / 经济直觉）：
- 假设 A1：$N$ 个区位、离散时间 $t=0,1,2,\dots$、总人口 $\bar L$ 固定（封闭经济）。经济由 $N$ 个离散区位组成，时间离散。理由：离散区位与离散时间是"可量化动态"的前提——每个 $t$ 都要做一次静态均衡，连续时间无法用矩阵迭代。参数含义：$\bar L=\sum_n L_{n,t}$ 恒成立（无出生死亡，或已净化为人口）。直觉：迁移只是人口在区间的重新分配，总量不变——这正是"空间不平等"研究的天然设定。
- 假设 A2：迁移是前瞻的动态离散选择（Bellman）。工人在 $t$ 期住在 $n$，每期可决定下期去任意 $i$，支付迁移成本 $\tau_{ni}^{mig}\ge 1$，并获得 idiosyncratic 冲击 $\epsilon_{i,t}$。理由：静态迁移模型（如 RRH 的 Fréchet 居住选择）隐含"每期都可无成本重选"，无法刻画"一旦迁出就难以回头"的沉没成本与预期。参数含义：$\beta\in(0,1)$ 是时间偏好（贴现因子），$\nu>0$ 是迁移偏好异质性（Type-I 极值尺度）。直觉：深圳今天工资高，但如果预期三年后产业外迁，今天搬过去可能后悔——Bellman 把这种"等一等看看"的期权价值写进模型。
- 假设 A3：每期内是静态 EK 贸易均衡 + 住房市场出清。给定当期人口分布 $L_{n,t}$，当期工资 $w_{n,t}$、价格指数 $P_{n,t}$、房价 $Q_{n,t}$、贸易份额 $\pi_{ni,t}$ 由静态出清决定（与 EK 模型同构）。理由：动态层只决定"人口怎么流"，静态层决定"流完之后各变量多高"——两层解耦是 Caliendo-Dvorkin-Parro 的核心技巧。参数含义：$\theta$ 是贸易弹性（Fréchet 形状），$H_n$ 是外生住房供给，$\beta_c$ 是消费份额（住房 $1-\beta_c$）。直觉：这正是"快变量 vs 慢变量"——价格、工资当期出清，人口几十年才重新分布。
- 假设 A4：生产率动态来自空间溢出与集聚。$T_{i,t}$ 可随本地人口 $L_{i,t}$ 上升而上升（集聚经济），或随邻区溢出而变化。理由：纯外生 $T_i$ 的模型会低估贸易自由化的长期效应——人口向沿海集聚后，沿海生产率内生提升，形成累积因果。参数含义：集聚弹性 $\xi$ 满足 $T_{i,t}\propto L_{i,t}^{\xi}$，$\xi>0$。直觉：深圳从渔村变硅谷，不是外生的，而是人来了以后干中学、知识外溢。
- 假设 A5：迁移成本 $\tau_{ni}^{mig}$ 是政策作用对象（户籍制度）。$\tau_{nn}^{mig}=1$（不迁移无成本），跨区 $\tau_{ni}^{mig}>1$，可分解为距离成本 + 制度成本（落户门槛）。理由：中国户籍改革、美国对墨西哥移民政策，都是直接改 $\tau_{ni}^{mig}$。参数含义：$\tau_{ni}^{mig}$ 以效用折损形式进入 Bellman（$\log\tau$ 进效用）。直觉：北京落户指标收紧 = $\tau_{\text{其他}\to\text{北京}}^{mig}\uparrow$，预期效用下降，迁入概率下降。
符号与参数总表
| 符号 | 含义 | 典型取值/来源 |
|---|---|---|
| $N$ | 区位个数 | 中国 31 省 / 美国 50 州 + ROW |
| $t$ | 离散时间期 | 一年一期，$t=0\dots T$ |
| $L_{n,t}$ | $t$ 期 $n$ 地人口（状态变量） | $\sum_n L_{n,t}=\bar L$ |
| $V_{n,t}$ | $t$ 期住在 $n$ 的期望终身价值 | Bellman 右端 |
| $U_{i,t}$ | $t$ 期 $i$ 地间接效用（静态出清结果） | $w_{i,t}/(P^\beta Q^{1-\beta})$ |
| $m_{ni,t}$ | $t$ 期从 $n$ 迁到 $i$ 的概率 | 行和=1 |
| $\tau_{ni}^{mig}$ | 迁移成本（效用折损） | $\ge1$，对角=1 |
| $\beta$ | 时间偏好贴现因子 | $0.95\sim0.98$（年） |
| $\nu$ | 迁移偏好异质性（Type-I 极值） | $\approx 1.5\sim 3$（从迁移流量估） |
| $\theta$ | 贸易弹性 | $\approx 4\sim 5$ |
| $\xi$ | 集聚弹性（$T\propto L^\xi$） | $0\sim0.1$ |
| $d_{ni}$ | iceberg 贸易成本 | $\ge1$ |
RRH (2017) 把"选哪里住"建模成静态 Fréchet 抽取，本质上假设工人每期都在所有区间重新抽取一次最优地。动态模型则承认：迁移是有成本、有预期的状态转移。$L_{n,t}$ 变成状态变量，模型必须沿时间轴求解——这就是为什么需要"向后迭代值函数、向前模拟人口"这套算法，而不是 RRH 那一套单期不动点。
02 迁移 Bellman 方程
一个 $t$ 期住在 $n$ 的工人，观察当期及未来的效用路径后，选择下期居住地 $i$。她从 $i$ 地获得的"当期流量效用"是 $\log U_{i,t}$，迁移成本以效用折损 $\log\tau_{ni}^{mig}$ 进入，还有一个她自己知道、计量经济学家不知道的 idiosyncratic 偏好冲击 $\epsilon_{i,t}$。她再乘上贴现因子 $\beta$，把"住在 $i$ 地从下期开始的期望终身价值"$E_t[V_{i,t+1}]$ 加进来：
设定理由：Bellman 方程把一个无穷期序列选择问题压缩成"当前期 + 一个续值函数"，这是动态规划的标准手法。把续值 $V_{i,t+1}$ 放进选择集合，工人就前看了——她不是只看今天工资，而是看"今天在哪最划算，加上明天开始在那的好日子"。
经济直觉：$\beta$ 越大，工人越看重未来，越愿意为一个"长期更好"的地方支付今天的迁移成本；$\tau_{ni}^{mig}$ 越大，跨区迁移的当期效用损失越大，迁移越慢。$\epsilon_{i,t}$ 是让迁移流不完全由工资差决定的"摩擦"——总有一小撮人因为家庭、方言、气候等不可观测原因搬。
在完美预期（perfect foresight）下，工人知道未来整条路径，$E_t[\cdot]$ 退化为确定值 $V_{i,t+1}$。绝大多数量化动态空间论文（Caliendo-Dvorkin-Parro 2019；Desmet-Rossi-Hansberg 2014）都在完美预期下求解——这避免了把整个宏观不确定性加进迁移决策的计算灾难，同时保留了"人口逐步向新均衡调整"的核心动态。
03 迁移概率：Type-I 极值积分
Bellman 右端是一个 $\max_i$。要把它变成可计算的迁移概率，需要对 $\epsilon_{i,t}$ 的分布积分。假设 $\epsilon_{i,t}\sim$ Type-I 极值（Gumbel），尺度参数 $\nu$，CDF 为 $G(\epsilon)=\exp(-e^{-\epsilon/\nu})$。这与 RRH 页里 Fréchet 通勤概率的推导数学同构——本质上都是"独立抽取的最大值仍有闭式分布"。
3.1 完整逐步推导（禁止跳步）
Step 0 · 记确定性部分。把第 $i$ 个选择的"净现值效用"（不含 $\epsilon$）记作
则选 $i$ 的总效用为 $a_{ni,t}+\epsilon_{i,t}$，Bellman 右端 $=\max_i(a_{ni,t}+\epsilon_{i,t})$。
Step 1 · Type-I 极值的 max 闭式。独立 Gumbel 抽取的最大值仍服从 Gumbel，且其选择概率服从 multinomial logit。$n$ 地工人选 $i$ 的概率为：
Step 2 · 对 $\epsilon_{i,t}$ 条件积分。以 $\epsilon_{i,t}=\epsilon$ 为条件（密度 $(1/\nu)e^{-(\epsilon+\epsilon/\nu)}$，即 Gumbel 密度），要求其余所有 $k\ne i$ 的 $a_{nk}+\epsilon_k\le a_{ni}+\epsilon$，即 $\epsilon_k\le(a_{ni}-a_{nk})+\epsilon$。独立故 CDF 连乘：
注意 Gumbel 密度写成 $g(\epsilon)=\frac{1}{\nu}e^{-\epsilon/\nu}e^{-e^{-\epsilon/\nu}}$。把连乘与指数里的密度项合并：所有指数项都是 $e^{-(\cdot)/\nu}$ 形式，合并后得到 $\exp(-e^{-\epsilon/\nu}\sum_k e^{-a_{nk,t}/\nu})$。
Step 3 · 变量替换 $u=e^{-\epsilon/\nu}$。由 $u=e^{-\epsilon/\nu}$ 得 $\epsilon=-\nu\ln u$，$d\epsilon=-\nu\,du/u$。上下限 $\epsilon:-\infty\to+\infty$ 对应 $u:+\infty\to0$。积分化简为一个 Gamma/指数型积分，结果正比于 $e^{a_{ni,t}/\nu}$。
Step 4 · 归一化得闭式。
同时，Bellman 右端在积分后也有闭式——这正是 Type-I 极值的魔力：期望最大值 $E[\max_i(a_{ni}+\epsilon_i)]=\nu\,\text{log-sum-exp}_i(a_{ni}/\nu)$。于是 Bellman 方程本身可写成：
常数 $C=\nu\gamma_{\text{Euler}}$（欧拉常数）对所有 $n$ 相同，只影响 $V$ 的水平、不影响 $m$ 的相对结构，数值求解时常被略去。这一式子是向后迭代的关键：已知 $V_{t+1}$，就能立刻算出 $V_t$，无需模拟任何个人。
直接按公式算 $\exp(a_{ni}/\nu)$ 会在 $a_{ni}$ 很大时溢出（overflow）、很小时下溢。数值实现统一用 logsumexp：先减去行内最大值 $\max_k(a_{nk,t}/\nu)$ 再取指数，最后把最大值加回——数学等价但数值稳定。Python 用 scipy.special.logsumexp 或手写减去最大值版本。
04 人口运动定律与每期静态均衡
4.1 人口运动定律
$n$ 地 $t$ 期有 $L_{n,t}$ 个人，其中比例 $m_{ni,t}$ 迁到 $i$。于是 $i$ 地 $t+1$ 期人口等于所有原住地 $n$ 流向 $i$ 的总和：
这就是动态模型的"运动方程"——给定初始分布 $L_0$ 和迁移概率路径 $\{m_t\}$，人口沿时间的轨迹被完全确定。它和 Solow 模型的资本积累方程 $\dot K=sY-\delta K$ 扮演同样角色：一个状态变量的 law of motion。
4.2 每一期的静态均衡
给定当期人口 $L_{n,t}$，当期内求解一个与 EK 模型完全同构的静态均衡（贸易 + 劳动力市场 + 住房市场出清）：
工资由贸易平衡（零利润）不动点决定：$w_{i,t}L_{i,t}=\sum_n\pi_{ni,t}\beta_c w_{n,t}L_{n,t}$（$i$ 地工资总额 = $i$ 地产品在各地的消费品销售额）。人口 $L_{n,t}$ 是状态、是外生给定的输入，$U_{n,t}$ 是静态均衡输出、再喂回 Bellman。这种"静态块被动态块反复调用"的结构，是整个求解器的骨架。
静态块：$L_t \xrightarrow{\text{出清}} U_t$；动态块：$U_t,V_{t+1}\xrightarrow{\text{logit}} m_t \xrightarrow{\text{运动定律}} L_{t+1}$。两块相互喂数据：静态给动态提供效用，动态给静态提供下期人口。求解时必须沿时间轴"同时"固定，这正是下一节"向后—向前"算法的由来。
05 稳态：Perron-Frobenius 主特征向量
当所有外生参数（$d_{ni},\tau_{ni}^{mig},T_i,H_n$）都不随时间变化时，模型收敛到一个稳态：$L_{n,t}\to L_n^*$，$U_{n,t}\to U_n^*$，$V_{n,t}\to V_n^*$，$m_{ni,t}\to m_{ni}^*$ 都不再变化。稳态下 Bellman 退化为一个不动点，人口运动定律退化为特征值问题。
5.1 稳态人口分布 = 迁移矩阵的主特征向量
稳态要求 $L^*=\mathbf m^{*\top}L^*$（人口不再变）。这正是说 $L^*$ 是迁移概率矩阵转置 $\mathbf m^{*\top}$ 的右特征向量，对应特征值 1。由 Perron-Frobenius 定理：对一个非负、不可约、行和为 1 的随机矩阵，存在唯一的主特征值 $\lambda=1$，对应的右特征向量是严格为正、和为 1 的向量——这就是稳态人口分布。
经济直觉：稳态不是"所有地方一样富"，而是"人口分布自我维持"——即使各地效用不同，只要 $n$ 地迁出的人数恰好等于各地迁入 $n$ 的人数，分布就稳定。高工资地人口多到把工资压下来，低工资地人口少到把工资抬上去，直到净迁移为零。
5.2 稳态求解流程
06 动态求解：向后值函数 / 向前人口
反事实（如第 $t=1$ 期突然贸易自由化、$\tau$ 永久下降）下，模型从旧稳态出发，要经过几十年才能收敛到新稳态。这条"转移动态路径"怎么算？标准算法是 backward-forward iteration（向后迭代值函数 + 向前模拟人口）。
直觉：工人今天的迁移决策取决于"未来会怎样"，所以值函数必须从终点往回算；而人口分布是今天的决策累积出来的，所以人口必须从起点往前推。两条方向相反的扫描，加上中间夹一个静态均衡重解，迭代到自洽——这就是动态空间模型求解的全部精髓。计算量约为 $T\times N^2$（$T$ 期 × 每期一个 $N\times N$ logit），$N=50,T=100$ 时普通笔记本几秒可解。
07 Python 动态求解器（numpy）
下面是一个完整、可运行的动态空间一般均衡求解器。模块：① 每期静态 EK 出清；② 稳态 Perron-Frobenius 主特征向量幂迭代；③ 向后值函数迭代 + 向前人口模拟；④ 贸易自由化反事实的动态路径。
# ============================================================
# 动态空间一般均衡求解器 (Dynamic Spatial GE Solver)
# 结构: 每期静态EK出清 + 迁移Bellman(Type-I极值) + 人口运动
# 参考: Caliendo, Dvorkin & Parro (2019, Econometrica)
# 仅依赖 numpy; log-sum-exp 手写保证数值稳定
# ============================================================
import numpy as np
def logsumexp(a, axis):
"""数值稳定的 logsumexp: 减去最大值再 exp 再求和再 log"""
m = np.max(a, axis=axis, keepdims=True)
return (m + np.log(np.sum(np.exp(a - m), axis=axis, keepdims=True))).squeeze(axis)
# ------------------------------------------------------------
# 1) 每期静态 EK 均衡: 给定人口 L, 解出工资 w 与效用 U
# ------------------------------------------------------------
def static_ek(L, T, d, H, theta, bc, damp=0.6, tol=1e-9, it=3000):
"""
L : (N,) 当期人口分布 (状态)
T : (N,) 各地生产率
d : (N,N) iceberg 贸易成本, d[n,i]=从i卖到n
H : (N,) 各地外生住房供给
theta : 贸易弹性; bc: 消费品支出份额(住房1-bc)
返回 w, Q, P, pi, U
"""
N = len(L)
w = np.ones(N) / N # 工资初值(后归一化)
for _ in range(it):
# 贸易份额与价格指数 (EK闭式)
A = T[None, :] * (w[None, :] * d) ** (-theta) # A[n,i]
pi = A / A.sum(axis=1, keepdims=True) # n从i进口份额
P = A.sum(axis=1) ** (-1.0 / theta) # 价格指数(常数gamma略)
# 贸易平衡不动点: w_i L_i = bc * sum_n pi_{n i} * w_n L_n
spend = bc * w * L # n地消费品总支出
sales = (pi * spend[:, None]).sum(axis=0) # i地在各地的销售额
w_new = sales / np.maximum(L, 1e-12)
w_new = w_new / w_new.sum() # 归一化(只识别相对工资)
if np.max(np.abs(w_new - w)) < tol:
w = w_new; break
w = damp * w_new + (1 - damp) * w
Q = (1 - bc) * w * L / H # 住房出清
U = w / (P ** bc * Q ** (1 - bc)) # 间接效用
return w, Q, P, pi, U
# ------------------------------------------------------------
# 2) 稳态值函数 + 主特征向量(Perron-Frobenius)
# ------------------------------------------------------------
def steady_state(L0, T, d, mig, H, theta, bc, beta, nu,
xi=0.0, outer=120, tol=1e-8):
"""
mig : (N,N) 迁移成本 tau^mig, mig[n,i]=从n迁到i
xi : 集聚弹性, T_tilde = T * L^xi
"""
N = len(L0)
L = L0 / L0.sum()
for _ in range(outer):
T_eff = T * L ** xi # 生产率内生(集聚)
_, _, _, _, U = static_ek(L, T_eff, d, H, theta, bc)
lu = np.log(U)
# 稳态值函数不动点: V_n = nu*logsumexp_k[(lu_k - log mig_nk + beta V_k)/nu]
V = np.zeros(N)
for _it in range(2000):
a = (lu[None, :] - np.log(mig) + beta * V[None, :]) / nu # (n,k)
V_new = nu * logsumexp(a, axis=1)
V_new -= V_new.mean() # 去掉公共常数
if np.max(np.abs(V_new - V)) < 1e-12:
V = V_new; break
V = 0.5 * V_new + 0.5 * V
# 迁移概率矩阵 m[n,i] = softmax over i of a
a = (lu[None, :] - np.log(mig) + beta * V[None, :]) / nu
m = np.exp(a - logsumexp(a, axis=1)[:, None]) # 行和=1
# 稳态人口 = m.T 的主右特征向量 (幂迭代)
L_new = m.T @ L
L_new = L_new / L_new.sum()
if np.max(np.abs(L_new - L)) < tol:
L = L_new; break
L = 0.5 * L_new + 0.5 * L
T_eff = T * L ** xi
_, Q, P, pi, U = static_ek(L, T_eff, d, H, theta, bc)
return dict(L=L, U=U, w=_ if False else None, Q=Q, P=P, pi=pi, m=m, V=V)
# ------------------------------------------------------------
# 3) 转移动态: 向后值函数 + 向前人口 (perfect foresight)
# ------------------------------------------------------------
def transition(L_old, ss_new, T, d_path, mig_path, H, theta, bc,
beta, nu, xi=0.0, T_horizon=60, outer=25):
"""
d_path[t], mig_path[t] : 长度T_horizon的外生路径(数组列表)
ss_new : 新稳态解(提供终端V与终端U)
返回各期 L_t, U_t, 福利路径
"""
N = len(L_old)
L_old = L_old / L_old.sum()
U_path = np.tile(ss_new["U"], (T_horizon, 1)) # 猜测: 先用新稳态
L_path = np.zeros((T_horizon + 1, N))
L_path[0] = L_old
for k in range(outer):
# --- 向后: 从终端 V_{T+1}=新稳态V 倒推 V_t ---
V_path = np.zeros((T_horizon + 1, N))
V_path[T_horizon] = ss_new["V"] # 终端条件
for t in range(T_horizon - 1, -1, -1):
lu = np.log(U_path[t])
a = (lu[None, :] - np.log(mig_path[t]) + beta * V_path[t + 1][None, :]) / nu
V_path[t] = nu * logsumexp(a, axis=1)
# --- 向前: 从 L_0=旧稳态 推 L_{t+1} ---
L_path[0] = L_old
for t in range(T_horizon):
lu = np.log(U_path[t])
a = (lu[None, :] - np.log(mig_path[t]) + beta * V_path[t + 1][None, :]) / nu
m = np.exp(a - logsumexp(a, axis=1)[:, None])
L_path[t + 1] = m.T @ L_path[t]
L_path[t + 1] /= L_path[t + 1].sum()
# --- 重解静态均衡, 更新 U_path ---
U_new = np.zeros((T_horizon, N))
for t in range(T_horizon):
T_eff = T * L_path[t] ** xi
_, _, _, _, U_new[t] = static_ek(L_path[t], T_eff, d_path[t], H, theta, bc)
err = np.max(np.abs(U_new - U_path))
U_path = 0.5 * U_new + 0.5 * U_path # 阻尼
if err < 1e-7:
break
# 动态福利: 全经济人均期望效用的时间序列
welf = [(L_path[t] * U_path[t]).sum() / L_path[t].sum()
for t in range(T_horizon)]
return dict(L_path=L_path, U_path=U_path, V_path=V_path, welfare=np.array(welf))
# ------------------------------------------------------------
# 4) 反事实模拟: 贸易自由化的动态调整路径
# ------------------------------------------------------------
if __name__ == "__main__":
rng = np.random.default_rng(7)
N = 6
theta, bc, beta, nu, xi = 4.0, 0.75, 0.95, 2.0, 0.05
T_prod = rng.uniform(0.8, 1.3, N)
H = np.ones(N)
dist = rng.uniform(0.5, 2.0, (N, N)); np.fill_diagonal(dist, 0.0)
d0 = np.exp(0.3 * dist); np.fill_diagonal(d0, 1.0) # 旧贸易成本
mig0 = np.exp(0.4 * dist); np.fill_diagonal(mig0, 1.0) # 旧迁移成本
# 旧稳态
L0 = np.ones(N) / N
ss_old = steady_state(L0, T_prod, d0, mig0, H, theta, bc, beta, nu, xi)
# 反事实: 第1期起所有区间贸易成本打7折(贸易自由化)
d_bt = np.full((N, N), 0.7); np.fill_diagonal(d_bt, 1.0)
d1 = d0 * d_bt
ss_new = steady_state(ss_old["L"], T_prod, d1, mig0, H, theta, bc, beta, nu, xi)
T_h = 60
d_path = [d1] * T_h # 永久性贸易冲击
mig_path = [mig0] * T_h # 迁移成本不变
tr = transition(ss_old["L"], ss_new, T_prod, d_path, mig_path,
H, theta, bc, beta, nu, xi, T_horizon=T_h)
print("旧稳态人口:", np.round(ss_old["L"], 3))
print("新稳态人口:", np.round(ss_new["L"], 3))
print("迁移矩阵行和=1:", np.allclose(ss_old["m"].sum(axis=1), 1.0))
print("动态福利 t=0 / t=30 / t=60:",
np.round([tr["welfare"][0], tr["welfare"][30], tr["welfare"][-1]], 3))
print("人口从旧稳态到新稳态, 第30期分布:", np.round(tr["L_path"][30], 3))
- logsumexp 手写：避免 $\exp$ 溢出，这是动态模型的命脉；
- 值函数去均值：Bellman 有一个公共常数自由度，每轮 $V$ 减去均值防漂移；
- 向后在前、向前在后：终端条件用新稳态 $V^*$，起点用旧稳态 $L_0$；
- 外生路径：$d_t,\tau_t$ 是政策路径，可设成"渐进式降关税"而非一次性冲击；
- $N>30$ 时外层
damp=0.3、$T=100$，普通笔记本仍可秒级求解。
08 参数估计与数据
8.1 迁移弹性 $\nu$ 的估计
对迁移概率 (DYN3) 取对数（以不迁移 $m_{nn}$ 为基准），可得估计方程：
用观测到的迁移流量矩阵 $m_{ni}^{\text{data}}$（人口普查长表、流动人口监测）作被解释变量，观测的效用差（工资、房价、价格指数）作解释变量，以 pair 固定效应吸收 $\tau_{ni}^{mig}$，即可 OLS/IV 估出 $1/\nu$。典型 $\nu\approx 1.5\sim 3$——迁移流量对效用差其实不太敏感，这正是中国人口"慢流动"的结构性原因。
8.2 迁移成本 $\tau_{ni}^{mig}$ 的反推
与 RRH 的 inversion 同理：给定估出的 $\nu,\beta$ 和观测的 $m_{ni}^0,U_{i}^0,V_i^0$，由迁移概率方程反解 $\tau_{ni}^{mig}$：
即：两地期望效用现值差，减去实际迁移概率反映的偏好，剩下的就是"为什么明知更好却不去"的成本——户籍门槛、方言、亲友网络都在这里。
8.3 数据来源
| 数据 | 美国来源 | 中国来源 | 用途 |
|---|---|---|---|
| 迁移流量矩阵 $m_{ni}$ | IRS Statistics of Income 跨区迁移；ACS PUMS；Longitudinal Employer-Household Dynamics | 人口普查长表（2000/2010/2020 户籍地—常住地）；流动人口动态监测 CMDS（卫健委） | 估计 $\nu$、反推 $\tau^{mig}$ |
| 工资 / 收入 $w_n$ | QCEW、ACS PUMS | 经济普查从业地收入；城镇单位平均工资（NBS） | 静态效用 $U_n$ |
| 价格 / 房价 $P_n,Q_n$ | BLS 分地区 CPI；Zillow ZHVI | NBS 70 城价格指数；CREIS；人口普查住房长表 | 实际工资 |
| 贸易成本 $d_{ni}$ | Comtrade + CEPII GeoDist | 省间铁路货运；海关跨境贸易 | EK 静态块 |
| 产出 / GDP | Penn World Table | 中国城市统计年鉴 | 校准 $\bar L$、支出份额 |
实操提醒：中国迁移数据最大的坑是"常住人口 vs 户籍人口"——普查长表里的"常住地"才是实际居住，户籍地会系统性高估欠发达地区的"人"。反推 $\tau^{mig}$ 时必须用常住口径，否则会把户籍留守人口误判为高迁移成本。
09 反事实：贸易自由化与户籍改革
9.1 贸易自由化的动态调整路径
把 $d_{ni}$ 永久打七折（如上代码），模型从旧稳态出发。典型结果：第 1 期价格指数立刻下降、实际工资跳升，但人口几乎不动（因为 $\tau^{mig}$ 仍高、$\beta$ 让工人观望）；随后几十年，人口逐步向受益地区（沿海、高生产率地）流动，当地房价被推高、工资被压低，直到新稳态。福利路径呈"先跳升、再缓慢调整、最后温和收敛"的形态——短期赢家是贸易直接受益地，长期赢家是能灵活搬迁的工人，而滞留于受损地的工人长期福利受损。这正是 Caliendo-Dvorkin-Parro (2019) 评估"中国冲击"对美国劳动力市场影响的核心发现： adjustment 的缓慢性，是静态模型完全看不到的。
9.2 迁移成本下降（户籍改革）
把 $\tau_{ni}^{mig}$ 下降（模拟户籍放开、落户门槛降低），人口运动会快得多。典型结论：户籍改革让欠发达地区人口更快流向发达地区，短期内流出地因劳动力减少而收缩、房价下跌；长期看，全国总产出上升（劳动力配置效率提高），但空间不平等可能先扩大后收敛——因为集聚经济 $\xi>0$ 让人口流入地生产率进一步上升，形成累积因果。
9.3 空间不平等的演化
动态框架允许我们画出"空间不平等指数（如各地人均实际收入的方差）随时间"的曲线：贸易冲击后不平等先扩大（人来不及流），随人口再分配逐步收敛。这一"动态不平等"视角是静态 RRH 给不出的——静态模型只能比较两个稳态，无法告诉你中间那 20 年谁在受苦。
10 论文案例、常见错误与难度
10.1 英文经典论文
10.2 中文顶刊与中国应用
10.3 常见错误
最大的错是直接用 $\log U_{i,t}$ 替代 Bellman，即假设工人"短视"。这会高估迁移对当期工资差的反应速度，反事实福利结论偏差巨大。只要有 $\beta\in(0,1)$，就必须解值函数。
$a_{ni,t}/\nu$ 在 $U_i$ 大时轻松超过 700，$\exp$ 直接 inf。必须先减行内最大值。本页代码的 logsumexp 是生命线。
转移动态必须以新稳态的 $V^*$ 作终端 $V_{T+1}$，否则工人不知道"尽头是什么"，整条路径漂移。时间跨度 $T$ 要长到 $L_T$ 已贴近新稳态（通常 $T=80\sim150$ 年）。
估 $\nu$ 和反推 $\tau^{mig}$ 必须用实际迁移流量（流入地—流出地配对），不能用期末存量差。存量差会把"自然增长"和"迁移"混在一起。
Bellman 有一个全体共同的常数自由度，数值上 $V$ 会无限平移。每轮迭代做 $V\leftarrow V-\bar V$ 归一化。
10.4 难度与前置
难度：★★★★☆（QSGE 里最难的两页之一）。需要同时掌握：动态规划/Bellman 与 Type-I 极值（动态结构模型）、EK 静态贸易均衡（EK 模型）、不动点迭代与 Perron-Frobenius。前置：先读 RRH 空间一般均衡（静态版）与 贸易+迁移+土地，再进入本页。本页的贸易成本模块与 贸易成本结构估计互补。