潜在结果框架与因果图 Potential Outcomes & Causal DAG

01 Rubin 潜在结果框架与根本问题

因果推断的第一语言是 Rubin 潜在结果框架（Rubin Causal Model, RCM）。对每一个个体 $i$，设想两种"平行宇宙"：一种宇宙里 $i$ 接受处理（treatment，记 $D_i=1$），另一种里 $i$ 不接受处理（$D_i=0$）。两个宇宙下的结果变量分别记为潜在结果：

个体 $i$ 的个体处理效应（individual treatment effect）被定义为两个潜在结果之差：

问题来了：现实中 $i$ 要么接受处理、要么不接受，只能观测到其中一个潜在结果。我们实际观测到的结果 $Y_i$ 是一个"拼接"出来的量：

这就是 Holland (1986) 所说的 "因果推断的根本问题（fundamental problem of causal inference）"：$\tau_i$ 本身永远不可观测，因为我们无法对同一个人同时做实验和不做实验。反事实（counterfactual）——即"如果 $i$ 接受了相反的处理，他的结果会是什么"——在原则上不可见。于是因果推断的全部艺术，就是用其他个体的观测结果作为 $i$ 的反事实替身。这也解释了为什么"处理组 vs 对照组"的设计如此重要：我们只能假设"在给定协变量后，对照组的平均结果可以近似处理组的反事实平均结果"。

02 ATE / ATT / ATU 的定义与关系

既然个体效应不可观测，统计上只能估计某种平均效应。最常用的三个量是：

• ATE（Average Treatment Effect）：在整个人群上的平均效应。回答"随机抽一个人，处理平均影响多大？"
• ATT（Average Treatment effect on the Treated）：在实际接受处理人群中的平均效应。回答"已经上大学的这批人，上大学对他们的收入影响多大？"——这是政策评估中最关心的量，因为政策的受益者已经或即将是这批人。
• ATU（Average Treatment effect on the Untreated）：在未接受处理人群中的平均效应。回答"如果把政策扩大到目前没被覆盖的人群，他们的效应会是多大？"

三者关系：设 $P(D=1)=p$，则 $p\cdot\text{ATT}+(1-p)\cdot\text{ATU}=\text{ATE}$。当处理效应存在异质性（即 $\tau_i$ 随 $X$ 变化）且处理分配 $D$ 与异质性相关时，$\text{ATT}\neq\text{ATU}\neq\text{ATE}$。例如：上大学的回报在"本来就该上大学"的人身上更高，则 ATT > ATE > ATU，这就是著名的自选择偏差。

03 可忽略性 / 无混杂假设

要让"用对照组结果当反事实"在统计上成立，必须施加一个核心假设——可忽略性（ignorability）/ 无混杂（unconfoundedness）：

读作：在给定观测协变量 $X$ 后，潜在结果与是否接受处理 $D$ 相互独立。直觉是：一旦我们控制了 $X$，"谁接受处理"就近似于随机分配——处理组和对照组在 $X$ 相同的子集上，$Y(0),Y(1)$ 的分布是相同的。此时对照组在 $X=x$ 处的平均结果 $E[Y\mid D=0,X=x]$ 就可以无偏地当处理组在 $x$ 处的反事实 $E[Y(0)\mid X=x]$。

这个假设等价于：所有同时影响 $D$ 和 $Y$ 的混淆变量都已被 $X$ 完整观测并控制。它本质上是一个"信仰声明"——我们永远无法用数据直接证明它成立，只能靠经济理论、制度背景、平衡检验（covariate balance）和稳健性检验来间接说服读者。

04 因果图 DAG：节点、箭头与三类变量

有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）是 Pearl 的因果语言：节点代表变量，箭头 $A\to B$ 代表"$A$ 对 $B$ 有直接因果影响"。DAG 把"可忽略性假设是否成立"翻译成一张可以肉眼检查的图。在 DAG 上有三类关键变量：

• 混杂因子（confounder）$Z$：同时指向处理 $D$ 和结果 $Y$，即 $Z\to D$ 且 $Z\to Y$。它是造成"$D$ 与 $Y$ 相关但非因果"的元凶。控制它可以切断伪相关。
• 对撞因子（collider）$C$：同时被 $D$ 和 $Y$ 指向，即 $D\to C$ 且 $Y\to C$。对撞因子的特点是：不控制它时，它不造成偏误；但一旦控制它（或基于它做条件），反而会在原本独立的 $D,Y$ 之间制造伪相关。这就是 Berkson 悖论。
• 中介变量（mediator）$M$：$D\to M\to Y$。它是处理影响结果的传导通道。控制 $M$ 会"切断"$D$ 经由 $M$ 对 $Y$ 的因果效应，把总效应分解为直接效应和间接效应。估计 ATE 时不要控制中介；估计"直接效应"时才需要控制。

一条从 $D$ 到 $Y$ 的路径（path）就是顺着箭头走出来的一串节点序列。路径分两种：

• 因果路径（causal path）：所有箭头方向都与 $D\to Y$ 同向，代表真正的因果通道。
• 后门路径（backdoor path）：从 $D$ 出发、沿某个箭头反向回到 $D$、再正向走到 $Y$ 的路径——即 $D \leftarrow \cdots \to Y$ 的形式。后门路径上承载的都是非因果的相关，必须全部阻断。

05 后门准则 backdoor criterion

Pearl 提出的 后门准则（backdoor criterion）给出了一个可机械检查的规则：给定处理变量 $D$、结果变量 $Y$，一组变量 $Z$ 是否足够"控制混杂"？规则有两条：

"阻断"一条路径的含义是：路径上存在一个非对撞的中介/混杂变量被 $Z$ 控制，或存在一个对撞因子不被 $Z$ 控制（对撞因子本身就阻断路径，无需控制）。

若 $Z$ 满足后门准则，则在 $Z$ 上做条件化后，$D$ 与 $Y$ 之间的关联 $P(Y\mid D,Z)$ 就等于因果效应 $P(Y\mid \text{do}(D))$，可以从观测数据非参数地识别。这正是"可忽略性 $Y(0),Y(1)\perp D\mid Z$"的图论版本。

06 do-calculus 入门

do 算子是 Pearl 区分"观测到 $D=d$"与"人为把 $D$ 设为 $d$"的关键记号：

前者是观测条件分布："我们看到的人里，$D=d$ 的人 $Y$ 分布如何"；后者是干预后分布："我们手术式地把所有人的 $D$ 都设为 $d$（切断所有指向 $D$ 的箭头），$Y$ 的分布如何"。因果效应就是后者的函数。do-calculus 给出三条规则，允许我们在 DAG 上把含 do 的表达式逐步改写为不含 do 的、可从观测数据计算的表达式：

1. 规则1（删除观测）：若在 $G_{\overline{D}}$（删掉所有指向 $D$ 的箭头后的图）上有 $Y\perp D\mid Z$，则 $P(Y\mid \text{do}(D),Z)=P(Y\mid Z)$。
2. 规则2（观测/干预交换）：若在 $G_{\underline{D},\overline{Z}}$ 上有 $Y\perp D\mid Z$，则 $P(Y\mid \text{do}(D),\text{do}(Z),X)=P(Y\mid \text{do}(D),Z,X)$——把对 $Z$ 的"干预"降级为"观测"。
3. 规则3（删除干预）：若在 $G_{\overline{DZ}}$（删掉所有指向 $D$ 和 $Z$ 的箭头）上 $Y$ 与 $\text{do}(Z)$ 无路径，则 $P(Y\mid \text{do}(D),\text{do}(Z),X)=P(Y\mid \text{do}(D),X)$。

对入门读者，最实用的结论是：如果后门准则满足，规则2直接给出 $P(Y\mid \text{do}(D))=\sum_z P(Y\mid D,Z=z)P(Z=z)$，这就是标准的调整公式（adjustment formula）。当后门准则不满足时（例如存在未观测混淆但有工具变量），do-calculus 的三条规则是判断"这个因果效应到底能不能从观测数据识别"的形式化工具。

07 选择偏误 vs 混杂偏误

这两个概念经常被混用，但在 DAG 语言里它们有本质区别：

典型例子：大学毕业生的工资差异。若你只在"进入大学"的人里研究"专业选择→工资"，你可能控制了"是否上大学"这个对撞因子——因为"上大学"同时由能力（影响工资）和专业偏好（影响工资）决定，控制它反而在专业与工资之间制造伪相关。另一个经典例子是 Heckman (1979)：研究工资方程时，样本只包含已工作的人，这等价于在"工作参与"这个对撞因子上做条件，导致 OLS 有偏。

08 完整示例：教育对收入的影响

用一个经典研究问题——上大学（$D$）对年收入（$Y$）的影响——演示完整的 DAG 分析流程。候选变量：

• Ability（能力，未观测）：$Ability\to D$（能力强的人更可能上大学）且 $Ability\to Y$（能力直接影响收入）。
• FatherEdu（父亲教育）：$FatherEdu\to Ability$、$FatherEdu\to D$、$FatherEdu\to Y$。
• Age（年龄）：$Age\to Y$（经验效应）。
• CollegeQuality（大学质量）：$D\to CollegeQuality\to Y$，是中介。

画出 DAG 后，从 $D$ 到 $Y$ 的后门路径有：$D\leftarrow FatherEdu\rightarrow Y$、$D\leftarrow Ability\rightarrow Y$、$D\leftarrow FatherEdu\rightarrow Ability\rightarrow Y$。

后门集识别：

• 控制 $\{FatherEdu, Age\}$：阻断了 $D\leftarrow FatherEdu\rightarrow Y$，但 $D\leftarrow Ability\rightarrow Y$ 仍在——因为 Ability 未观测。不满足后门准则。
• 若 Ability 可观测（如用 IQ 分数代理），控制 $\{FatherEdu, Ability, Age\}$：所有后门路径被阻断，且这三个变量都不是 $D$ 的后代。满足后门准则，可识别 ATE。
• 若 Ability 不可观测，则后门准则失败，观测数据无法识别因果效应——必须借助 IV（如 Card (1995) 的"出生地距大学距离"）、RDD（如 Clark & Royer）或 DID。
• 不要控制 CollegeQuality，因为它是 $D$ 的后代（中介）；控制它会切断 $D\to CollegeQuality\to Y$ 这条因果路径，估计的是"直接效应"而非总效应。

09 代码：DAG 可视化与混杂模拟

下面两段 Python 代码：第一段用 networkx 画一张教育-收入的 DAG；第二段模拟数据，演示"不控制混杂"时 OLS 估计的偏误，以及"控制后门集"后偏误消失。

# ============================================================
# 09.1 用 networkx 画"教育 -> 收入"的因果 DAG
# pip install networkx matplotlib
# ============================================================
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt

G = nx.DiGraph()
# 节点：D=上大学, Y=收入, A=能力(未观测), F=父亲教育, Age=年龄, Q=大学质量(中介)
nodes = ["D", "Y", "A", "F", "Age", "Q"]
G.add_nodes_from(nodes)

# 因果箭头：从左到右
edges = [
    ("A", "D"),          # 能力影响是否上大学
    ("A", "Y"),          # 能力直接影响收入
    ("F", "A"),          # 父亲教育 -> 能力
    ("F", "D"),          # 父亲教育 -> 上大学
    ("F", "Y"),          # 父亲教育 -> 收入（网络）
    ("Age", "Y"),        # 年龄 -> 收入
    ("D", "Q"),          # 上大学 -> 大学质量
    ("Q", "Y"),          # 大学质量 -> 收入
]
G.add_edges_from(edges)

# 手工布局：让 D 在左、Y 在右
pos = {
    "F":   (-2,  1),
    "A":   (-1,  0),
    "Age": (-1, -1),
    "D":   ( 0,  0.5),
    "Q":   ( 1,  1.2),
    "Y":   ( 2,  0),
}
labels = {
    "D": "D (上大学)",
    "Y": "Y (年收入)",
    "A": "A (能力,未观测)",
    "F": "F (父亲教育)",
    "Age": "Age (年龄)",
    "Q": "Q (大学质量,中介)",
}
plt.figure(figsize=(9, 5))
nx.draw_networkx(G, pos, labels=labels, with_labels=True,
                 node_size=2200, node_color="#e8eef5",
                 font_size=10, font_family="Noto Sans CJK SC",
                 edge_color="#888", arrows=True, arrowsize=15)
plt.title("因果图：教育 -> 收入（A 未观测，后门路径未阻断）")
plt.axis("off")
plt.tight_layout()
plt.savefig("dag_edu_income.png", dpi=150)
# 读图可知：D<-A->Y 是无法用观测变量阻断的后门路径

# ============================================================
# 09.2 模拟数据：演示"控制混杂前后 OLS 系数的变化"
# 真实 DGP：A -> D, A -> Y, D -> Y, 且 A 不可观测
# 真实因果效应 tau0 = 1.0
# ============================================================
import numpy as np
import statsmodels.api as sm

np.random.seed(42)
n = 5000

# 混淆变量 A（未观测）
A = np.random.normal(0, 1, n)
# 处理 D 由 A 决定：A 高的人更可能上大学
D = (A + np.random.normal(0, 1, n) > 0).astype(float)
# 结果 Y：真实 tau=1.0，A 对 Y 也有直接效应 0.8
Y = 1.0 * D + 0.8 * A + np.random.normal(0, 1, n)

# ---- 模型1：错误地不控制 A ----
X_bad = sm.add_constant(D)
m1 = sm.OLS(Y, X_bad).fit()
print("不控制混杂：beta_D =", round(m1.params[1], 3),
      "(真实=1.0，被 A 抬高)")

# ---- 模型2：假设我们观测到 A（理想世界）----
X_good = sm.add_constant(np.column_stack([D, A]))
m2 = sm.OLS(Y, X_good).fit()
print("控制混杂 A：beta_D =", round(m2.params[1], 3),
      "(接近真实 1.0，无偏)")

# ---- 模型3：用一个代理变量 A_hat 控制（部分缓解）----
A_hat = A + np.random.normal(0, 0.3, n)   # 带噪代理
X_proxy = sm.add_constant(np.column_stack([D, A_hat]))
m3 = sm.OLS(Y, X_proxy).fit()
print("用噪声代理 A_hat：beta_D =", round(m3.params[1], 3),
      "(偏误缩小但未消失)")

# install.packages("dagitty")
library(dagitty)

# 用 DAGitty 语法定义图：D 是处理，Y 是结果
dag <- dagitty('dag {
  A [unobserved]
  F -> A
  F -> D
  F -> Y
  A -> D
  A -> Y
  Age -> Y
  D -> Q
  Q -> Y
  D [exposure]
  Y [outcome]
}')

# 自动计算满足后门准则的最小调整集
adjustmentSets(dag, exposure = "D", outcome = "Y",
               type = "backdoor")
# 输出会给出：{ F, Age } 等可观测的调整集；
# 但因为 A 未观测，含 A 的集合并不可行，
# 说明：仅靠观测变量无法识别 ATE —— 必须找 IV。

# 画出 DAG
plot(graphLayout(dag))

10 逐步流程

11 论文案例与常见错误

常见错误

进阶资料

• Pearl, Glymour & Jewell (2016), Causal Inference in Statistics: A Primer —— 入门最友好。
• Hernán & Robins, Causal Inference: What If（免费在线书）—— 流行病学家视角，强调 DAG 与 g-formula。
• R 包 dagitty / Stata 包 dagitty：自动找后门集、画 DAG。
• Python 包 networkx、graphviz：画自定义 DAG。