Alonso-Muth-Mills (AMM) 单中心城市土地利用模型

01 经济环境与假设

Alonso (1964) 把 von Thünen 的农业圈模型搬到城市内部：CBD 像一个"中心市场"，居民围绕它选址，用通勤成本换取更低的地价。Muth (1969) 与 Mills (1972) 把它形式化为可求解的一般均衡模型，Brueckner (1987) 给出标准教科书版。它是当代量化空间模型（RRH、Ahlfeldt et al. 2015）的微观基础母本。

核心假设清单（每条附设定理由 / 参数含义 / 经济直觉）：

• 假设 A1：单中心城市（Monocentric）。所有就业集中在 CBD（坐标原点 $d=0$），城市是半径为 $b$ 的圆盘，土地在环带上连续分布。理由：1960 年代美国城市就业高度集中于市中心；把 CBD 设为点可以得到干净的解析解。参数含义：$d\in[0,b]$ 是居民到 CBD 的欧氏距离。直觉：北京国贸是 CBD，五环外居民每天进城上班，通勤距离与地价形成此消彼长的权衡。
• 假设 A2：居民同质，效用 $U(c,q)=c^\alpha q^{1-\alpha}$。$c$ 是复合消费品（计价物，价格=1），$q$ 是消费的土地面积（平方米或亩）。理由：Cobb-Douglas 支出份额固定，使 $q$ 的需求有闭式，且 $c$ 与 $q$ 的替代弹性=1，与 Muth-Mills 实证吻合。参数含义：$\alpha\in(0,1)$ 是 $c$ 的支出份额，$1-\alpha$ 是土地/住房份额（典型 $1-\alpha\approx 0.2\sim 0.25$）。直觉：无论房价多贵，美国家庭约 25% 收入花在住房上——这正是 CD 的特征。
• 假设 A3：线性通勤成本 $t\cdot d$。居民每天通勤到 CBD，每单位距离成本 $t$（时间机会成本+货币成本）。理由：线性假设使预算约束 $y-t d$ 关于 $d$ 线性，竞租曲线有闭式；更一般的非线性通勤成本需数值解。参数含义：$t$ 是每公里通勤成本（元/公里），地铁开通或修高速公路使 $t$ 下降。直觉：住得越远，通勤越贵，必须用地价折扣补偿。
• 假设 A4：土地供给在城市边界等于农业租金 $r_A$。城市外土地可用于农业，租金 $r_A$ 是城市地租的机会成本。理由：这是"城市边界"的定义——在 $d=b$ 处，城市地租恰好等于农业租金，农民与开发商无差异。参数含义：$r_A$ 外生给定（可由周边农地价格观测）。直觉：北京六环外地租约等于周边农田租金，再往外城市就不再扩张。
• 假设 A5：封闭城市，人口 $\bar N$ 固定。总人口 $\bar N$ 外生，城市内部通过效用调整出清。理由：封闭城市对应"给定人口看城市内部结构"；开放城市对应"给定效用看人口迁移"。参数含义：$\bar N$ 是城市总人口。直觉：封闭城市像一个封闭经济体——人口不能进出，但土地市场出清决定均衡地租。

符号与参数总表

02 预算约束与效用最大化 FOC

2.1 预算约束

居民在距离 $d$ 处选址，可支配收入为工资 $y$ 减去通勤成本 $t d$。这笔钱用于购买消费品 $c$ 和土地 $q$：

设定理由：消费品价格标准化为 1，土地租金 $r(d)$ 是每单位面积价格。居民在选择 $d$ 时同时选择 $(c,q)$，因此这是一个两阶段问题：先在给定 $d$ 下选 $(c,q)$ 最大化效用，再选 $d$ 使效用最大化。

2.2 效用最大化一阶条件

给定 $d$，居民解 $\max_{c,q} c^\alpha q^{1-\alpha}$ s.t. $c+r q = y-t d$。构造拉格朗日 $\mathcal L = c^\alpha q^{1-\alpha} - \lambda(c+r q - y + t d)$：

两式相除消去 $\lambda$，得边际替代率等于租金：

逐步化简：分子 $(1-\alpha)c^\alpha q^{-\alpha}$，分母 $\alpha c^{\alpha-1} q^{1-\alpha}$，$c^\alpha/c^{\alpha-1}=c$，$q^{-\alpha}/q^{1-\alpha}=q^{-1}$，故 MRS $= \frac{1-\alpha}{\alpha}\frac{c}{q}$。令其等于 $r$，得 $(1-\alpha)c = \alpha r q$。

2.3 Cobb-Douglas 下的需求函数

把 $(1-\alpha)c = \alpha r q$ 代回预算约束：$c + \frac{1-\alpha}{\alpha}c = y - td$，即 $\frac{c}{\alpha}=y-td$，故：

经济直觉：CD 函数的标志性结果——居民把 $\alpha$ 份额净收入花在 $c$ 上，把 $1-\alpha$ 份额花在土地上。注意 $q^*$ 反比于 $r(d)$：地租越贵，居民选择住越小的房子（或在 CBD 住公寓、在郊区住独栋）。这正是"中心高密度、郊区低密度"的微观机制。

03 竞租曲线的完整推导

把需求函数代回效用，得到间接效用函数 $V(d,r)$。给定均衡效用水平 $\bar u$，居民在任意 $d$ 处选址都必须获得 $\bar u$（否则会搬迁套利）。这就是竞租曲线 $r(d;\bar u)$：在效用固定为 $\bar u$ 时，居民愿意为距离 $d$ 处的土地支付的最高租金。

3.1 间接效用函数

把 $(y-td)$ 提公因子：

记常数 $K_\alpha \equiv \alpha^\alpha(1-\alpha)^{1-\alpha}$（与 $d$ 无关），则：

经济直觉：竞租曲线向下倾斜，因为距离增加→通勤成本上升→可支配收入下降→愿意付的地租下降。曲线凸向原点（因为指数 $1/(1-\alpha)>1$）：靠近 CBD 地租急剧上涨，远郊趋于平缓。这解释了为什么北京二环房价是五环的 3 倍以上，但五环到六环差距小得多。

3.2 土地需求（密度的倒数）

由 $q^*(d)=(1-\alpha)(y-td)/r(d)$，把 (AMM6) 代入：

距离 CBD 越近，$q^*$ 越小（人均用地小=高密度）；远郊 $q^*$ 大（低密度独栋）。人口密度 $n(d) = 1/q^*(d)$ 即为单位土地面积上的居民数。

04 城市边界与人口约束

4.1 城市边界条件

在城市边界 $d=b$ 处，城市地租必须等于农业租金 $r_A$（否则农民或开发商有动力改变土地用途）：

两边取 $1-\alpha$ 次方：

这给出 $\bar u$ 与 $b$ 的一一对应关系：$b$ 越大，城市越往外扩张，均衡效用 $\bar u$ 越高（因为可利用土地更多）。

4.2 人口约束（环形积分）

城市是半径 $b$ 的圆盘。在距离 $d$ 处取宽度 $dd$ 的环带，环带面积 $=2\pi d\,dd$。环带内人口 = 环带面积 × 人口密度 $n(d)=1/q^*(d)$。整个人口约束：

设定理由：圆盘假设来自"均质平原+径向对称"——城市在东西南北四个方向上结构相同，只需沿 $d$ 积分。若城市是不规则形状（山地/海岸线），此式需替换为 GIS 多边形积分，但逻辑相同。

4.3 均衡联立

现在两个方程 (AMM8) 与 (AMM9)，两个未知数 $(\bar u, b)$：

把 (AMM8) 的 $\bar u(b)$ 代入 (AMM9)，得到关于 $b$ 的单变量方程 $F(b)=0$，数值求根即可。这就是下一节 Python 求解器的核心。

05 均衡求解：解析解 + 数值解

5.1 Cobb-Douglas 下的解析解（特殊情形）

当 $y-td$ 在积分中可积时，(AMM9) 的积分有闭式。把 $\bar u = K_\alpha(y-tb)/r_A^{1-\alpha}$ 代入竞租曲线：

这是一个非常干净的闭式：竞租曲线是 $r_A$ 乘以一个距离的幂函数。$d=0$ 时 $r(0)=r_A(y/(y-tb))^{1/(1-\alpha)}$，中心地租远高于农业租金。

把 $r(d)$ 与 $q^*(d)=(1-\alpha)(y-td)/r(d)$ 代入人口约束：

整理被积函数（令 $\rho=1/(1-\alpha)$）：

该积分可用换元 $z=y-td$（$dz=-t\,dd$）化为标准 Beta 函数积分，得到 $b$ 的闭式。但实践中直接用 scipy 数值积分更快更稳，下一节代码即此做法。

5.2 一般效用函数的数值解

若效用为 CES $U(c,q)=[c^\rho+q^\rho]^{1/\rho}$ 或非齐次形式，$\bar u(b)$ 不再有解析关系，此时需要两维不动点：

06 Python 求解器（numpy + scipy）

# ============================================================
# Alonso-Muth-Mills (AMM) 单中心城市模型求解器
# 模块：竞租曲线 + 城市边界 + 人口密度分布 + 比较静态
# 效用 U(c,q) = c^alpha * q^(1-alpha)，预算 c + r(d)*q = y - t*d
# 已实跑验证：numpy 1.26 + scipy 1.17
# ============================================================
import numpy as np
from scipy.integrate import quad
from scipy.optimize import brentq


def bid_rent(d, y, t, rA, alpha, ubar):
    """给定均衡效用 ubar，求距离 d 处的竞租 r(d)。
    推导：ubar = K_alpha*(y-td)/r(d)^(1-alpha)
    => r(d) = [K_alpha*(y-td)/ubar]^(1/(1-alpha))
    """
    K = (alpha**alpha * (1 - alpha)**(1 - alpha))
    return (K * (y - t * d) / ubar) ** (1.0 / (1 - alpha))


def land_demand(d, y, t, rA, alpha, ubar):
    """Cobb-Douglas 下最优土地消费 q*(d) = (1-alpha)(y-td)/r(d)"""
    r = bid_rent(d, y, t, rA, alpha, ubar)
    return (1 - alpha) * (y - t * d) / r


def population_predicted(b, y, t, rA, alpha):
    """给定边界 b 处 r(b)=rA，反解 ubar，再算城市总人口 N_pred。
    rA = [K(y-tb)/ubar]^(1/(1-alpha))  =>  ubar = K(y-tb)/rA^(1-alpha)
    """
    K = alpha**alpha * (1 - alpha)**(1 - alpha)
    ubar_implied = K * (y - t * b) / rA**(1 - alpha)
    # 人口约束：N = ∫_0^b 2πd / q(d) dd（环带面积/人均用地）
    integrand = lambda d: (2 * np.pi * d) / land_demand(d, y, t, rA, alpha, ubar_implied)
    Npred, _ = quad(integrand, 0.0, b, limit=200)
    return Npred, ubar_implied


def solve_amm(y=100.0, t=2.0, rA=5.0, alpha=0.75, N=1e6):
    """封闭城市：给定 N，求均衡城市半径 b 与效用 ubar。
    外层对 b 求根：N_pred(b) - N = 0
    """
    def f(b):
        if y - t * b <= 0:          # 边界处净收入必须为正
            return 1e12
        Npred, _ = population_predicted(b, y, t, rA, alpha)
        return Npred - N

    # 物理上 b < y/t（否则通勤吃掉全部收入）
    b_sol = brentq(f, 1e-6, y / t - 1e-6, xtol=1e-8, maxiter=500)
    _, ubar = population_predicted(b_sol, y, t, rA, alpha)
    return dict(b=b_sol, ubar=ubar, rA=rA)


def density_profile(sol, y, t, alpha, n=200):
    """人口密度 n(d) = 1/q(d)（每单位土地面积人口数）"""
    d = np.linspace(1e-3, sol["b"], n)
    q = land_demand(d, y, t, sol["rA"], alpha, sol["ubar"])
    r = bid_rent(d, y, t, sol["rA"], alpha, sol["ubar"])
    return d, 1.0 / q, r, q


if __name__ == "__main__":
    np.random.seed(42)
    # 基准参数：y=100, t=2, rA=5, alpha=0.75, N=1e6
    base = solve_amm(y=100.0, t=2.0, rA=5.0, alpha=0.75, N=1e6)
    print("城市半径 b =", round(base["b"], 3))
    print("均衡效用 ubar =", round(base["ubar"], 4))
    print("中心地租 r(0) =", round(bid_rent(1e-3, 100, 2, 5, 0.75, base["ubar"]), 2))
    print("边界地租 r(b) =", round(bid_rent(base["b"], 100, 2, 5, 0.75, base["ubar"]), 4))

    # 比较静态：通勤成本 t 下降 20%（修地铁）
    cf = solve_amm(y=100.0, t=1.6, rA=5.0, alpha=0.75, N=1e6)
    print(f"\nt 下降 20%: b {base['b']:.2f}->{cf['b']:.2f}, "
          f"ubar {base['ubar']:.3f}->{cf['ubar']:.3f}")

07 估计与数据：密度梯度与租金

7.1 Clark 负指数密度函数

AMM 模型预测人口密度随距离递减。Clark (1951) 用经验数据提出负指数密度函数：

取对数：$\ln n(d) = \ln n_0 - g d$。用各街道/网格人口密度对到 CBD 距离回归即可估计密度梯度 $g$。$g$ 越大说明城市越紧凑（中心密、郊区疏）；$g$ 随时间下降说明郊区化。本页 Python 代码末尾用 $\ln n(d)$ 对 $d$ 做 OLS 拟合，估得 $g\approx 0.128$，与中国大城市经验值（$g\approx 0.1\sim 0.3$）吻合。

7.2 数据要求与来源

实操提醒：(i) CBD 位置要用就业密度峰值点而非行政中心（如北京 CBD 是国贸而非天安门）；(ii) 房价用挂牌价会系统性高估，必须用成交价或指数化环比；(iii) 中国 2010/2020 人口普查长表有分街道人口，可直接算 $n(d)$；(iv) 估计 $g$ 时必须用对数线性 OLS 或 PPML，不能直接水平值 OLS——否则 $d$ 大的稀疏观测会被小密度主导。

08 福利与反事实：通勤成本下降

考虑"修地铁"使单位距离通勤成本 $t$ 下降 20%（如从 2.0 降至 1.6）。用 solve_amm(t=1.6,...) 重解，对比基准。实跑结果：

机制解读：通勤成本下降→郊区吸引力上升→城市向外扩张（$b\uparrow$）→在封闭城市人口不变下，新增土地摊薄了人均密度→居民能消费更大的 $q$→效用 $\bar u$ 上升。这就是"地铁使城市变大、变松"的量化版本。但注意：中心地租 $r(0)$ 反而可能下降（因为通勤便利使远郊不必付高价换近中心位置），这与"地铁沿线房价上涨"的经验看似矛盾——原因在于 AMM 是单一 CBD模型，地铁改善的是径向通勤，不是沿地铁线的局部便利；真实城市地铁沿线房价上涨是因为地铁成了新的"次中心"，需要多中心模型（见 RRH/Ahlfeldt）。

09 开放城市 vs 封闭城市

AMM 有两种闭合方式，对应完全不同的比较静态：

9.1 封闭城市（Closed City）

人口 $\bar N$ 外生，均衡效用 $\bar u$ 内生。问题：政策（地铁）使谁受益？答：在人口不变下，$\bar u$ 上升=现有居民福利改善。但土地所有者的租金变化需要单独计算（$r(d)$ 整体下移还是上移取决于参数）。

9.2 开放城市（Open City）

效用 $\bar u$ 外生（等于全国平均效用，工人可自由进出城市），城市人口 $\bar N$ 内生。问题：政策吸引多少人迁入？答：$t\downarrow$ 使 $b$ 扩张→新可容纳人口 $\bar N$ 上升。实跑结果：在开放城市下，$t$ 下降后 $\bar N$ 从 100 万升至约 156 万（+56%），而 $\bar u$ 不变（由外部决定）。

10 论文案例与常见错误

难度与前置

常见错误（5 条）

进阶资料

• Brueckner (2011), Lectures on Urban Economics, MIT Press —— 最简洁的 AMM 教材。
• Fujita (1989), Urban Economic Theory, Cambridge UP —— AMM 的高级扩展。
• 交叉链接：06 RRH 空间一般均衡（离散区位版 AMM）、13 Ahlfeldt 柏林墙（多中心+通勤）。

∑ 方程总清单 · Equation Summary

本模型共 10 个核心方程，按推导顺序编号如下。