OLG 世代交叠模型：两期 Diamond 模型、资本积累与养老金
放弃"一个永生代表性消费者"，改用"每代人只活两期、新老两代交叠"的结构。这是研究人口老龄化、现收现付养老金、公共债务与资本积累生命周期的主力框架。本页从两期 Diamond (1965) 模型出发，完整推导家庭储蓄、资本市场出清与稳态，给出可运行的 Python 稳态求解与转轨代码，并落到养老金改革与中国老龄化应用。
01 为什么需要 OLG：与永生代表性家庭的根本区别
前面 RBC / NK 模型用的都是永生代表性家庭（Representative Agent, RA）：同一个消费者从 $t=0$ 活到永远，在任意时刻都面对同一组跨期套利条件。这个假设在研究"人口结构"时立刻失效——一个 25 岁的中国年轻人和一个 65 岁刚退休的老人，对储蓄、利率、养老金的反应完全不同，他们不可能是"同一个永生家庭"。
OLG（Overlapping Generations）模型换了一套人口结构：每个人生存两期（年轻 + 老年），任意时刻总有两代人同时活着。年轻时工作、储蓄；年老时花掉一生储蓄。新世代不断出生、老世代不断老去死亡。这套结构有三个 RA 模型给不出的核心结论：
- 无套利的利率不一定等于时间偏好：资本积累由"年轻人今天存多少"决定，而不是由一个永生家庭的 Euler 方程决定，因此经济可能动态无效率（dynamically inefficient）——资本过度积累，利率低于人口增长率。
- 代际转移有实际作用：现收现付（pay-as-you-go）养老金、公共债务、遗产税，都是在"现在的年轻人"和"现在的老年人"之间转移资源，RA 模型里不存在这种跨代再分配。
- 政策不能只看稳态：改变养老金规则会让"已经老了的人"和"还没出生的人"受到不同影响，必须做转轨路径（transition path）分析，而不是直接比较两个稳态。
RA 模型回答"同一个人随时间怎么动"；OLG 模型回答"不同年龄的人在同一时间怎么共存、跨代怎么转移"。研究老龄化、社保改革、国债可持续性，必须用 OLG。
02 模型假设逐条陈述
本页用最经典的 Diamond (1965) 两期 OLG。假设逐条列出，每一条都会在后文反复使用：
- 人口结构：第 $t$ 期有 $N_t$ 个年轻人出生，人口以增长率 $n$ 增长，即 $N_{t+1}=(1+n)N_t$。每个人只活两期。
- 效用：年轻人在年轻期消费 $c_{1t}$、老年期消费 $c_{2t+1}$，效用为贴现的对数效用 $$U_t = \log c_{1t} + \beta \log c_{2t+1}$$ $\beta\in(0,1)$ 为主观贴现因子。用对数效用是为了储蓄函数有解析形式，便于手推。
- 年轻期收入：年轻人无弹性地供给 1 单位劳动，获得工资 $w_t$；他把收入用于年轻时消费 $c_{1t}$ 和储蓄 $s_t$。
- 老年期消费：老年人把一生储蓄本息全部花掉，面对储蓄的总回报率 $r_{t+1}$（毛利率 $1+r_{t+1}$）。
- 生产：代表性厂商用资本 $K_t$ 和劳动 $L_t=N_t$，CRS 技术 $Y_t=F(K_t,L_t)$，资本一期后完全折旧 $\delta=1$（教学简化；推广到 $\delta\in(0,1]$ 是常规练习）。要素市场完全竞争，工资与租金等于边际产出。
- 资本市场出清：第 $t+1$ 期的资本 $K_{t+1}$，全部来自第 $t$ 期年轻人的储蓄 $N_t s_t$。老年人在第 $t$ 期把资本卖给厂商。
$\delta=1$ 让稳态差分方程简洁可手推。若取 $\delta<1$，只需把"年轻人储蓄 = 下一期资本"改成 $K_{t+1}=(1-\delta)K_t+I_t$，推导完全平行。本页代码不做此简化，直接用 $\delta<1$ 的一般式。
03 家庭优化：年轻储蓄与老年消费
年轻人在第 $t$ 期面对两期预算约束。年轻时：
年老时，他把储蓄的本息全部用于消费：
把两期约束合并成一生预算约束 $c_{1t} + \dfrac{c_{2t+1}}{1+r_{t+1}} = w_t$，最大化 $U_t=\log c_{1t}+\beta\log c_{2t+1}$。代入后对 $c_{1t}$ 求一阶条件（或对 $s_t$ 求导）：
把 $c_{1t}=w_t-s_t$、$c_{2t+1}=(1+r_{t+1})s_t$ 代入，解出储蓄：
解读：在对数效用下，储蓄率恰好等于 $\beta/(1+\beta)$，与利率 $r_{t+1}$ 无关（收入效应与替代效应恰好抵消）。这是对数效用的便利之处——储蓄决策独立于预期利率，让资本积累方程退化成一个关于 $w_t$ 的简单差分方程。若换 CRRA 效用 $u(c)=c^{1-\sigma}/(1-\sigma)$，$s_t$ 会依赖 $r_{t+1}$，需联立求解。
04 厂商与资本市场出清
厂商用 CRS 生产函数 $Y_t=K_t^\alpha L_t^{1-\alpha}$（柯布-道格拉斯，$\alpha$ 为资本份额）。完全竞争下，要素报酬等于边际产出。记人均（每年轻工人）资本 $k_t=K_t/N_t$：
资本市场出清是 OLG 的核心方程：第 $t+1$ 期的资本存量 $K_{t+1}$ 等于第 $t$ 期年轻人的总储蓄。用人均形式、考虑人口增长 $N_{t+1}=(1+n)N_t$：
于是人均资本的运动规律闭合为一个一维自治差分方程：
解读：这就是 OLG 的"Solow 式"差分方程，但储蓄率 $s=\beta(1-\alpha)/[(1+\beta)(1+n)]$ 来自微观家庭最优化，而不是像 Solow 那样外生给定。给定初始 $k_0$，方程 7 唯一决定整条转轨路径。
05 稳态：资本积累差分方程与黄金律
稳态满足 $k_{t+1}=k_t=k^*$。代入方程 7（$\delta=1$ 的教学式）：
稳态利率 $r^*=\alpha(k^*)^{\alpha-1}$。关键的动态效率判据：比较稳态利率 $r^*$ 与人口增长率 $n$。黄金律资本水平满足 $r_{gold}=n$（资本的边际产出恰好补偿人口增长）。
- 若 $r^* > n$：资本不足（动态有效），减少储蓄可让每代人都更好。
- 若 $r^* < n$：资本过度积累（动态无效率）——多存的钱在稳态下得不偿失，此时引入现收现付养老金（年轻人缴税、老年人领钱）可以帕累托改进。这是 Diamond (1965) 的著名结论。
RA 模型里永生家庭的 Euler 方程强制 $r=\rho$（纯时间偏好），资本永远不会过度积累。OLG 里没有这种强制——储蓄率由工资决定，利率可以被推到低于 $n$。这是 OLG 比 RA 丰富的地方，也是研究养老金的理论基础。
06 完整 Python 代码：稳态求解与转轨动态
下面代码实现含 $\delta<1$ 的一般形式：给定参数，(1) 求稳态 $k^*$；(2) 从任意初始 $k_0$ 模拟转轨路径；(3) 检查动态效率 $r^*$ vs $n$。普通笔记本秒级跑完。
import numpy as np
from scipy.optimize import brentq
# ---------- 1. 参数校准（季度/年度均可，这里用年度教学值） ----------
alpha = 0.33 # 资本收入份额
beta = 0.98 # 主观贴现因子（年）
n = 0.01 # 人口年增长率
delta = 0.05 # 折旧率（这里取 <1 的一般式，教学常用 1）
# ---------- 2. 工资与利率（人均形式） ----------
def wage(k):
return (1 - alpha) * k**alpha
def rent(k):
return alpha * k**(alpha - 1) # 净利率 r = MPK
# ---------- 3. 资本积累差分方程（含折旧的一般式） ----------
# 年轻人储蓄 s = beta/(1+beta) * w；
# 人均资本运动: (1+n) k_{t+1} = s_t + (1-delta) k_t
def k_next(k):
s_t = beta / (1 + beta) * wage(k)
return (s_t + (1 - delta) * k) / (1 + n)
# ---------- 4. 求稳态 k*：解 k_next(k*) = k* ----------
def ss_eq(k):
return k_next(k) - k
# 搜索区间：k 从 1e-6 到 100，找根
k_star = brentq(ss_eq, 1e-6, 100)
r_star = rent(k_star)
w_star = wage(k_star)
print(f"稳态人均资本 k* = {k_star:.4f}")
print(f"稳态利率 r* = {r_star:.4f}")
print(f"稳态工资 w* = {w_star:.4f}")
print(f"人口增长率 n = {n:.4f}")
# 动态效率判据
if r_star > n:
print(f"动态有效：r*={r_star:.3f} > n={n:.3f}，资本不足")
else:
print(f"动态无效率：r*={r_star:.3f} < n={n:.3f}，资本过度积累，可引入养老金帕累托改进")
# ---------- 5. 转轨路径：从初始 k0 模拟 60 期 ----------
T = 60
k_path = np.zeros(T)
k_path[0] = k_star * 0.3 # 从低于稳态的 30% 起步
for t in range(1, T):
k_path[t] = k_next(k_path[t-1])
print("\n转轨路径前 10 期人均资本：")
for t in range(10):
print(f" t={t:2d}: k={k_path[t]:.4f} r={rent(k_path[t]):.4f}")
$k_t$ 从初始低位单调收敛到 $k^*$，$r_t$ 从高位单调下降到 $r^*$。把这个转轨图画出来，就是"资本积累收敛"的标准教学图。把 $\beta$ 调大（更有耐心），$k^*$ 上升、$r^*$ 下降——这就是"储蓄率上升推迟消费"在 OLG 里的版本。
07 应用：现收现付养老金与人口老龄化
OLG 最重要的政策应用是养老金制度设计。设政府对年轻人工资征收比例税 $\tau$，全部转移给当期老年人。第 $t$ 期每个年轻人缴 $\tau w_t$，第 $t$ 期的老年人（共 $N_{t-1}$ 人）从 $N_t$ 个年轻人的缴款中领取养老金。人均（按年轻人计）的养老金收益为：
关键洞察：现收现付养老金的"回报率"是人口增长率 $n$（而非市场利率）。当生育率下降、老龄化加剧，$n$ 下降甚至为负，现收现付体系的回报率暴跌——这正是中国、欧洲、日本养老金压力的 OLG 表述。对比市场利率 $r^*$：
- 若 $r^* > n$：现收现付不如市场化储蓄，长寿者更愿意"自己存"。
- 若 $r^* < n$：现收现付在稳态下能提高每代人福利（动态无效率情形）。
中国养老金改革的核心权衡——"现收现付（社会统筹）" vs "完全积累（个人账户）"——正是在 $r^*$ 与 $n$ 的此消彼长之间做选择。Auerbach-Kotlikoff (1987) 的多期 OLG 模型把两期扩展为 55 期（模拟到退休），是定量研究这类改革的标准工具。
08 论文案例
09 常见错误与进阶资料
OLG 的核心不是"加个冲击"，而是人口结构。若你只是在 RBC 里加"变老"却保留永生 Euler 方程，就丢失了 OLG 的全部含义。关键方程是 Equation 6 的资本市场出清（储蓄 = 下一期资本），不是 $r=\rho$。
很多学生只写 $K_{t+1}=N_t s_t$ 却忘记除以 $N_{t+1}=(1+n)N_t$，得到 $k_{t+1}=s_t$ 而非 $k_{t+1}=s_t/(1+n)$。这会让稳态资本系统性偏高、利率偏低。人均化时一定要把人口增长放进去。
养老金改革的福利结论高度依赖转轨：改革当期的老年人拿不到好处、却要承担成本。直接比较改革前后两个稳态的福利，会高估改革收益。OLG 政策分析必须解完整转轨路径（本页代码第 5 步就是在做这件事）。
Diamond 模型可能动态无效率，但参数校准到美国/中国数据后，$r^*$ 通常高于 $n$（资本不足）。不要一上来就假设"现收现付一定帕累托改进"——先算 $r^*$ vs $n$，再下结论。
Equation 4 的 $s_t=\beta w_t/(1+\beta)$ 是对数效用的特殊结果。换成 CRRA 就不成立。写代码或推导时，不要把"储蓄与利率无关"当成普遍结论。