对数线性化：把非线性均衡系统翻译成 Dynare 能求解的线性方程组

01 为什么必须线性化

DSGE 的原始均衡条件（equilibrium conditions）几乎都是非线性的：$C_t^{-\sigma}=\beta E_t[C_{t+1}^{-\sigma}(1+r_t)]$、价格加成 $\frac{\theta}{\theta-1}\frac{MC_t}{P_t}=\pi_t$ 之类。要对一个理性预期（rational expectations）非线性系统求解析解，一般是不可能的；即便用数值方法，全局解（global solution）在十维以上的中型模型里代价极高。而宏观时间序列中的波动（business-cycle fluctuations）相对稳态（steady state）的偏离通常很小——战后美国产出缺口基本在 $\pm 5\%$ 以内。这给了我们一个便宜而可靠的近似：在稳态附近把所有方程做一阶泰勒展开（first-order Taylor expansion），只保留偏离稳态的一阶项，扔掉二阶及以上的"小量平方"。

这样做的回报巨大：(1) 系统变成线性的，可用 Blanchard-Kahn 条件、Blanchard-Kahn-Klein 或 Uhlig 方法一步求出政策函数（policy function）；(2) 脉冲响应（IRF）关于冲击是线性的、可加的，方差分解、历史分解都变成线性代数；(3) Dynare 等工具会自动做这一步，我们只需写对非线性方程。代价是：一阶近似下不确定性不影响决策（确定性等价，certainty equivalence），也看不到风险溢价（risk premium）和偏态；要研究零利率下限（ZLB）、尾部风险或福利成本的二阶项，就必须升级到二阶/三阶近似（见第 06、08 站）。

02 对数偏离的定义与一阶泰勒展开技巧

设变量 $x_t$ 的确定性稳态为 $x$（去掉时间下标、不加帽）。对数偏离（log deviation / hat variable）定义为：

当偏离很小时，$\hat{x}_t \approx \frac{x_t - x}{x}$，即$\hat{x}_t$ 在数值上等于"偏离稳态的百分比"（乘以 100 就是百分数）。由 $x_t = x e^{\hat{x}_t}$，再做泰勒展开 $e^{\hat{x}_t}\approx 1+\hat{x}_t$，得到整个 DSGE 线性化最常用的三条"恒等式"：

对数把"乘积"变"和"、把"幂次"变"倍数"，这正是对数线性化比直接线性化好用的原因。对任意函数 $f(x_t)$ 在 $x$ 处做一阶泰勒展开：

实操口诀：先把方程写成"稳态值 × 各变量的幂次乘积 = 1 或常数"的形式，两边取对数，再扔掉所有稳态常数项和交叉二阶项。下文四个方程我们都按这一步一步做。

03 逐步推导①：Euler 方程（消费跨期替代）

家庭最优化的核心是 Euler 方程。设 CRRA 效用 $u(C_t)=C_t^{1-\sigma}/(1-\sigma)$，资本/债券实际收益率为 $r_t$（净利率，$1+r_t$ 为总回报）：

第一步：代入稳态。 稳态时没有预期误差，$C_t=C_{t+1}=C$，$r_t=r$，于是 $1=\beta(1+r)$，即 $1+r=1/\beta$。

第二步：写成"稳态常数 × 变量幂次 = 常数"。 两边除以 $C^{-\sigma}=\beta E_t[C^{-\sigma}(1+r)]$，利用稳态 $C^{-\sigma}=\beta C^{-\sigma}(1+r)$ 约掉：

第三步：用 $x_t/x = e^{\hat{x}_t}\approx 1+\hat{x}_t$，再取对数。 $\log(C_t/C)=\hat{c}_t$，于是 $(C_t/C)^{-\sigma}=e^{-\sigma \hat{c}_t}\approx 1-\sigma \hat{c}_t$。同理 $\left(\frac{1+r_t}{1+r}\right)$ 这一项记 $\hat{r}_t = \frac{r_t - r}{1+r}$（注意利率是净利率，其对数偏离要除以总回报 $1+r$，见下方 callout）：

第四步：两边减 1，整理。 常数项消去，$E_t[1]=1$：

这就是教科书式的消费 Euler 方程：当前消费等于预期未来消费减去$1/\sigma$乘以实际利率偏离。$1/\sigma$ 是跨期替代弹性（IES）。若模型还带投资 $I_t$、资本 $K_t$ 与 Tobin's Q，对 $\frac{1}{I_t^{1}}$ 型调整成本展开后会得到类似的投资-Q 方程，推导套路完全一致。

04 逐步推导②：新凯恩斯菲利普斯曲线（NKPC）

Calvo 价格粘性（每期只有 $1-\theta$ 比例厂商调价）经对数线性化后得到向前看的 NKPC。设实际边际成本为 $mc_t$（相对稳态），稳态加成 $\Lambda=\frac{\theta}{\theta-1}$。原始最优定价条件对数线性化的标准结果为：

其中 $mc_t$ 已是用对数偏离表示的边际成本。逐步看它怎么来：Calvo 厂商的最优价格 $\tilde{P}_t$ 满足

第一步：在零通胀稳态 $\pi=1$ 附近展开。记相对价格 $\tilde{P}_t/P_t = 1+\hat{p}_t^\*$，总通胀 $\pi_t=P_t/P_{t-1}=1+\hat{\pi}_t$。由加总价格定律 $1=(1-\theta)(\tilde{P}_t)^{1-\epsilon}+\theta P_{t-1}^{1-\epsilon}$，在稳态展开得

第二步：把最优定价一阶条件写成 $\hat{p}_t^\*=(1-\beta\theta)\,mc_t^\*+\beta\theta E_t[\hat{\pi}_{t+1}+\hat{p}_{t+1}^\*]$，其中 $mc_t^\*$ 是对数偏离的实际边际成本。

第三步：代入 $\hat{p}_t^\* = \frac{\theta}{1-\theta}\hat{\pi}_t$，消去 $\hat{p}^\*$：

再用生产函数与劳动供给把 $mc_t^\*$ 换成产出缺口 $\hat{y}_t-\hat{y}_t^f$，就得到常见的 $\hat{\pi}_t=\beta E_t\hat{\pi}_{t+1}+\kappa(\hat{y}_t-\hat{y}_t^f)$。这是一个纯向前看方程，没有滞后项——这也是 NK 模型"通胀取决于预期"的结构性来源。

05 逐步推导③：Taylor 规则（货币政策）

央行按 Taylor 规则设定名义利率，带利率平滑（interest rate smoothing）与通胀/产出反应：

第一步：稳态时 $\pi=1$（零通胀稳态）、$R=1/\beta$，所有比值都等于 1。

第二步：两边取对数，$\log(R_t/R)=\widehat{R}_t$，利用 $\log$ 把乘积变和、幂次变倍数：

第三步：定义利率偏离 $\hat{r}_t\equiv \widehat{R}_t$，即得标准形式：

利率平滑 $\rho_R\in(0,1)$ 让货币政策惯性化；$\phi_\pi>1$（Taylor 原则）保证均衡确定性，这正是下一站讲 Blanchard-Kahn 条件时要用到的关键参数。

06 逐步推导④：资源约束与技术过程

封闭经济资源约束 $Y_t=C_t+I_t$（无政府、无资本调整成本的最简 RBC 版），全要素生产率 $A_t$ 服从 AR(1)。

资源约束：稳态 $Y=C$（设无投资）。两边除以 $Y=C$：$\frac{Y_t}{Y}=\frac{C_t}{C}$。取对数即 $\hat{y}_t=\hat{c}_t$。若有投资 $I_t=\delta K_t$，则需写成份额加权：

生产函数 $Y_t=A_t K_t^\alpha N_t^{1-\alpha}$：取对数、稳态约掉，直接得份额加权和：

技术冲击过程本身已是线性（外生 AR(1)）：

07 线性化后的完整模型系统

把上面四个方程加上资本积累与资本 Euler（q 方程），最简 NK-RBC 模型的线性系统为（变量均为对数偏离）：

注意：这个系统里同时出现了前瞻变量（$E_t\hat{c}_{t+1}, E_t\hat{\pi}_{t+1}$）、滞后变量（$\hat{r}_{t-1}, \hat{k}_t, \hat{a}_{t-1}$）和同期变量（$\hat{y}_t, \hat{mc}_t$）。求解器要做的就是把它化成状态空间形式 $X_t=A X_{t-1}+B\varepsilon_t$。

08 矩阵形式与 Dynare 自动线性化

把所有变量堆进一个向量 $X_t$（状态变量 + 前瞻变量），把系统写成 Blanchard-Kahn 的标准形式：

其中 $A,B,C,D$ 是由参数决定的系数矩阵，$\varepsilon_t$ 是结构冲击向量。求解要求：前瞻变量的个数等于 $A^{-1}B$ 的不稳定特征根个数，这就是 Blanchard-Kahn 条件（第 06 站详解）。好消息是——你几乎永远不用手推这个矩阵。Dynare 会对 model 块里的非线性方程自动求导、自动线性化。下面是手推与 Dynare 的对照：

% ===== 你在 model 块里写的是非线性原始方程 =====
model;
  % 家庭 Euler 方程（非线性）
  c^(-sigma) = beta*c(1)^(-sigma)*(1+r);

  % NKPC（由 Calvo 最优定价隐含，这里直接写其等价简化式）
  pi = beta*pi(1) + kappa*mc;

  % Taylor 规则
  (r/r_ss)^rho_r * ((pi/pi_ss)^phi_pi*(y/y_ss)^phi_y)^(1-rho_r) = r/r_ss; % 见下方注释
  r = r(-1)^rho_r * (pi^phi_pi*y^phi_y)^(1-rho_r) * exp(em);

  % 资源约束 / 生产函数 / 技术
  y = c + i;
  y = a*k^alpha*n^(1-alpha);
  a = rho_a*a(-1) + ea;
end;
% Dynare 自动在 steady state 处做一阶泰勒展开，等价于你手推的 hat 变量系统。
% 手推的 hat{c}_t = E_t hat{c}_{t+1} - (1/sigma) hat{r}_t
%   就是 Dynare 对上面 Euler 方程自动求导后的结果。

09 经典论文与参考文献

10 常见错误与进阶资料