一阶条件推导：从 Lagrangian 到 Euler Equation 与 NKPC

01 推导方法论与符号

DSGE 的一阶条件推导本质上是带约束的跨期最优化。标准流程：

本页使用的所有符号沿用上一页：$C_t, N_t, b_t, w_t, i_t, \pi_t$；$\beta, \sigma, \varphi$ 为参数。下面开始正式推导。

02 家庭 Lagrangian 的构造

家庭的优化问题（来自上一页 §2）：

把约束移到左边，定义 Lagrangian：

其中 $\lambda_t\ge 0$ 是预算约束乘子，其经济含义是"第 $t$ 期放松一单位预算约束（即多得一单位消费）带来的边际效用"。下面我们对三个选择变量 $C_t, N_t, b_{t+1}$ 分别求偏导。

03 FOC wrt $C_t$ 与劳动供给方程

3.1 对 $C_t$ 求导

$C_t$ 只出现在第 $t$ 期的花括号里（当期消费），所以：

解释：$\lambda_t=C_t^{-\sigma}$ 表示"预算约束的影子价格"正好等于消费的边际效用。这是 CRRA 效用下的标准结果。

3.2 对 $N_t$ 求导

$N_t$ 也只出现在第 $t$ 期花括号里：劳动负效用项 $-N_t^{1+\varphi}/(1+\varphi)$ 对 $N_t$ 求导为 $-N_t^\varphi$；预算约束里 $+w_t N_t$ 项在乘子前面，所以 $-\lambda_t(-w_t N_t)=+\lambda_t w_t N_t$，对 $N_t$ 求导为 $+\lambda_t w_t$。合起来：

把 $\lambda_t=C_t^{-\sigma}$ 代入，得到劳动供给方程：

直觉：多工作一单位的边际负效用 $N_t^\varphi$，要正好等于用这一单位工资换来的消费的边际效用 $\lambda_t w_t=C_t^{-\sigma}w_t$。这就是 MRS（marginal rate of substitution）等于实际工资。

04 FOC wrt $b_{t+1}$：欧拉方程

关键步骤来了。$b_{t+1}$ 是"跨期变量"，它同时出现在第 $t$ 期约束（作为支出项 $b_{t+1}/(1+i_t)$）和第 $t+1$ 期约束（作为收入项 $b_{t+1}/(1+\pi_{t+1})$）里。把这两项都摘出来：

把两项对 $b_{t+1}$ 求偏导，令其和为 0（注意第 $t+1$ 期变量在 $t$ 期看是期望 $E_t$）：

移项整理：

代入 $\lambda_t=C_t^{-\sigma}$：

两边同乘 $(1+i_t)$，把右端括号拆开：

定义事前实际利率 $(1+r_t)\equiv \frac{1+i_t}{1+E_t\pi_{t+1}}$（在零通胀稳态附近 $\pi_{t+1}\approx E_t\pi_{t+1}$，可作一阶近似），得到教科书版本：

在资源约束 $Y_t=C_t$ 下，欧拉方程也写成产出形式：

05 Calvo 厂商最优定价 FOC

Calvo 厂商的定价问题（上一页 §4.3）：在 $t$ 期能调价的厂商选择 $P_t^*$ 最大化贴现利润：

把需求函数代入利润：

对 $P_t^*$ 求偏导（用乘积求导法则：$(a-b)x^{-\varepsilon}$ 的导数为 $x^{-\varepsilon} + (a-b)(-\varepsilon)x^{-\varepsilon-1}$）：

令贴现后求和的导数为 0，把公共因子 $(P_t^*)^{-\varepsilon-1}P_{t+k}^{\varepsilon}Y_{t+k}Q_{t,t+k}$ 约掉：

把含 $P_t^*$ 的项与含 $MC$ 的项分开：

解释：$\varepsilon/(\varepsilon-1)$ 就是稳态 markup（加成率）。当 $\theta=0$（每期都能调价），求和只剩 $k=0$ 一项，$P_t^*=\frac{\varepsilon}{\varepsilon-1}MC_t^n$，即弹性价格下厂商按 markup 定价。当 $\theta>0$，厂商要按未来预期边际成本的加权平均定价，权重由 $\theta^k$ 衰减。

06 价格加总方程 log-linearize

价格指数的 law of motion（上一页 §4.3）：

两边除以 $P_t^{1-\varepsilon}$：

定义 gross inflation $\Pi_t\equiv P_t/P_{t-1}$，$\pi_t\equiv\ln\Pi_t\approx \Pi_t-1$；定义相对价格 $\widetilde p_t^*\equiv\ln(P_t^*/P_t)$。在零通胀稳态 $\Pi=1$、$P_t^*=P_t$ 附近做一阶 Taylor 展开：

代入归一化方程：

右端常数项 $\theta+(1-\theta)=1$，正好等于左端 1，抵消。剩下：

07 NKPC 完整推导

7.1 最优定价的对数线性化

把 §5 的最优定价在零通胀稳态附近 log-linearize（Galí 推导），得到：

其中 $\widehat{mc}_t$ 是实际边际成本的对数偏离稳态。直觉：本期新价格 = 现期边际成本的影响 $(1-\beta\theta)\widehat{mc}_t$ + 未来预期新价格的贴现值 $\beta\theta E_t\widetilde p_{t+1}^*$。

7.2 消去 $\widetilde p_t^*$，得到 NKPC

把 §6 的桥梁方程 $\widetilde p_t^*=\frac{\theta}{1-\theta}\pi_t$ 代入上式：

两边同乘 $\frac{1-\theta}{\theta}$：

定义斜率 $\kappa\equiv\frac{(1-\theta)(1-\beta\theta)}{\theta}$，即：

7.3 转化为产出缺口形式

在本工作站的 baseline 模型里（无资本、对称均衡），把劳动供给方程 $w_t=N_t^\varphi C_t^\sigma$ 与生产函数 $Y_t=A_t N_t^{1-\alpha}$、$C_t=Y_t$ 结合，可推出实际边际成本与产出缺口的关系：

在"产出缺口" $\hat y_t\equiv\widehat{Y}_t-\widehat{Y}_t^n$（偏离 flexible-price natural output）的定义下，技术项被自然产出吸收，于是：

本工作站按用户要求简记 $\kappa_y$ 为 $\kappa$：

08 把 FOC 写进 Dynare

把 §3、§4、§7 推出来的三条核心方程补到上一页骨架的 model; 块里。注意 Dynare 中所有变量都是对数偏离稳态（在 steady state 归一化为 0），所以方程直接写成 $\hat x_t$ 的线性形式。

% ============================================================
% baseline_nk_foc.mod —— 补完 FOC 的 NK 模型
% 上一页骨架中的注释方程，在这里全部写出来
% ============================================================

var Y C N pi i r mc y_gap A;
varexo eps_a eps_m;

parameters beta sigma phi alpha theta eps_p rho_a rho_i phi_pi phi_y kappa;

beta=0.99; sigma=1.0; phi=5.0; alpha=0.25;
theta=0.75; eps_p=9.0;
rho_a=0.9; rho_i=0.8; phi_pi=1.5; phi_y=0.125;

% NKPC 斜率 kappa = (1-theta)(1-beta*theta)/theta * (sigma+phi)
kappa = (1-theta)*(1-beta*theta)/theta * (sigma + phi);

model;
% --- (1) 欧拉方程（对数线性化后的 IS curve）---
%     C_t^-sigma = beta*E[C_{t+1}^-sigma*(1+r)]
%     对数线性化：y_gap = E[y_gap(+1)] - (1/sigma)*(r)
y_gap = y_gap(+1) - (1/sigma)*r;

% --- (2) Fisher equation ---
r = i - pi(+1);

% --- (3) NKPC（产出缺口形式）---
pi = beta*pi(+1) + kappa*y_gap;

% --- (4) Taylor rule ---
i = rho_i*i(-1) + (1-rho_i)*(phi_pi*pi + phi_y*y_gap) + eps_m;

% --- (5) 技术冲击 AR(1) ---
A = rho_a*A(-1) + eps_a;

% --- (6) 自然产出与产出缺口关系（简化）---
%     y_gap 在这里被视为给定内生变量，由 (1)(2)(3)(4) 联立决定
end;

steady_state_model;
  % 见 03-steady-state.html
end;

shocks;
var eps_a; stderr 0.01;
var eps_m; stderr 0.0025;
end;

steady;
check;
stoch_simul(irf=20);

09 论文案例与常见错误

9.1 论文案例（英文经典）

9.2 论文案例（中文顶刊）

9.3 推导阶段的常见错误（≥3 条）

9.4 进阶

• 下一步：04 · 稳态求解，把 FOC 系统在零通胀稳态下解出来。
• Galí (2015) 附录 3.1 给出完整的 FOC 推导；Woodford (2003) Ch. 3 给出 stochastic discount factor 的严格版本。