模型构建：以标准 New Keynesian 模型为例

01 模型概览与符号约定

本工作站接下来 3 页（模型构建 → FOC → 稳态）使用同一个 baseline 模型：标准三方程 New Keynesian 模型的实物版，取自 Galí (2015) 第 3 章，并按用户要求把生产函数写成 $Y_t=A_t N_t^{1-\alpha}$ 的形式。模型有以下简化假设：

• 没有资本积累（no physical capital），家庭只持有一期名义债券 $B_t$；
• 没有投资 $I_t$，所以资源约束 $Y_t=C_t$；
• 没有政府购买 $G_t$（财政仅 lump-sum tax 平衡预算）；
• 家庭是同质的 representative household，无收入异质性；
• 中间品厂商 $j\in[0,1]$ 垄断竞争，按 Calvo (1983) 概率 $\theta$ 维持价格不变；
• 技术冲击 $A_t$ 服从 AR(1)，货币政策冲击 $\varepsilon_t^m$ i.i.d.。

符号约定：大写 $C_t, Y_t, N_t, B_t, P_t, W_t$ 为水平变量；带 hat 的 $\hat x_t \equiv \ln x_t - \ln \bar x$ 为对数偏离稳态；小写 $\pi_t \equiv \ln(P_t/P_{t-1})$ 为通胀率；$i_t$ 为名义利率（连续复利口径）；$r_t$ 为事前实际利率。

02 家庭部门 Household

2.1 效用函数

代表性家庭在 $t=0$ 期选择消费 $C_t$ 与劳动供给 $N_t$，最大化期望终身效用：

其中：$\beta\in(0,1)$ 为 subjective discount factor（主观贴现因子）；$\sigma>0$ 为 coefficient of relative risk aversion / inverse of intertemporal elasticity of substitution（相对风险厌恶系数，等于跨期替代弹性的倒数）；$\varphi>0$ 为 inverse Frisch elasticity of labor supply（Frisch 劳动供给弹性的倒数）。第一项是 consumption utility（CRRA 形式，$\sigma=1$ 时退化为对数效用 $\ln C_t$）；第二项是 labor disutility，劳动越多越不快乐。

2.2 预算约束

家庭用工资收入 $W_t N_t$、持有债券的利息收入、以及从厂商分到的股息 $\Pi_t$ 来购买消费品 $P_t C_t$ 并购买新一期名义债券 $B_{t+1}$。政府对家庭征收 lump-sum tax $T_t$：

两边除以 $P_t$ 写成实际量：

家庭选择 $\{C_t,N_t,B_{t+1}\}$ 使效用最大化，受预算约束。终端条件为 non-Ponzi scheme 条件：$\lim_{T\to\infty} E_t[\beta^T \lambda_{t,T} b_{t+T+1}]\ge 0$。

2.3 家庭的两个核心决策

虽然本页不做 FOC 推导，但先把家庭要做的两个决策讲清楚：

• 消费—储蓄决策（consumption-savings decision）：在今天多消费一单位 $C_t$，和把这一单位存入债券、明天多消费 $1+r_t$ 单位之间权衡。这会推导出 Euler equation：$C_t^{-\sigma}=\beta E_t[C_{t+1}^{-\sigma}(1+r_t)]$。
• 劳动—闲暇决策（labor-leisure decision）：多工作一单位 $N_t$ 的边际负效用 $N_t^{\varphi}$，要等于用这一单位工资换来的消费的边际效用 $w_t C_t^{-\sigma}$。这会推导出 labor supply 方程：$\frac{N_t^{\varphi}}{C_t^{-\sigma}}=w_t$。

03 最终品厂商 Final Goods Producer

经济中有一个完全竞争的最终品厂商，把 continuum（连续统）的中间品 $Y_t(j), j\in[0,1]$ 打包成最终消费品 $Y_t$。打包技术是 CES 加总：

其中 $\varepsilon>1$ 是中间品之间的 elasticity of substitution（替代弹性）。最终品厂商在给定 $P_t(j)$ 下，最小化成本 $\int_0^1 P_t(j)Y_t(j)dj$，反推出对每种中间品 $j$ 的需求：

对应的最终品价格指数（Dixit-Stiglitz price index）为：

直觉：CES 加总意味着每家中间品厂商都面对一条弹性为 $\varepsilon$ 的向下倾斜需求曲线，因此有 monopoly power（垄断力），可以定价高于边际成本——这就是 NK 模型"价格粘性会产生实际效应"的微观基础。

04 中间品厂商 + Calvo 定价

4.1 生产函数

每家中间品厂商 $j$ 用劳动 $N_t(j)$ 生产，技术水平 $A_t$ 对所有厂商相同。本工作站按用户要求采用：

注意这里没有资本 $K$，所以 $(1-\alpha)$ 是劳动产出弹性；$\alpha$ 可视作"固定要素"份额（相当于把资本归一化到 1 后的残留项）。技术冲击服从 AR(1)：

4.2 成本最小化

给定 $W_t$，厂商 $j$ 选择 $N_t(j)$ 最小化总成本 $W_t N_t(j)$。从生产函数反推所需劳动：

代入成本，得到名义总成本与名义边际成本：

在 symmetric equilibrium（对称均衡）下所有厂商生产相同，加总后 $Y_t=A_t N_t^{1-\alpha}$，实际边际成本 $mc_t\equiv MC_t^n/P_t$：

4.3 Calvo 定价

Calvo (1983) 的核心假设：每一期只有 $1-\theta$ 比例的中间品厂商能重新设定价格，剩下 $\theta$ 比例的厂商只能沿用上一期价格 $P_{t-1}(j)$。$\theta$ 就是"价格不调整概率"，平均价格持续时间（price duration）为 $1/(1-\theta)$。

在 $t$ 期有机会调价的厂商选择新价格 $P_t^*$，最大化其贴现利润，受未来需求曲线约束：

其中 $Q_{t,t+k}=\beta^k \frac{C_{t+k}^{-\sigma}}{C_t^{-\sigma}}\frac{P_t}{P_{t+k}}$ 是 stochastic discount factor（随机贴现因子），$\theta^k$ 是"到 $t+k$ 期还没调价"的概率。注意：被调价概率 $\theta$ 越高，厂商在定价时越要考虑遥远未来的边际成本，价格越"僵硬"。

价格动态加总方程（由 Dixit-Stiglitz 价格指数 + Calvo 调价比例推出）：

这一等式是后续推导 NKPC 的关键桥梁：把它在零通胀稳态附近 log-linearize，就得到 $\pi_t=(1-\theta)\widetilde{p}_t^*$，再结合最优定价 FOC，就推出 $\pi_t=\beta E_t\pi_{t+1}+\kappa mc_t$。下一页会完整推。

05 中央银行 Taylor Rule

央行不做最优化，按一个简单反馈规则设定名义政策利率 $i_t$（被称为 instrument rule）。本工作站采用 smoothed Taylor rule（带利率平滑的泰勒规则）：

其中：$\rho_i\in[0,1)$ 为 interest rate smoothing parameter（利率平滑系数，$\rho_i=0$ 即无平滑的原始 Taylor 规则）；$\phi_\pi>1$ 为对通胀的反应系数（Taylor principle 要求 $\phi_\pi>1$，否则模型 indeterminate）；$\phi_y\ge 0$ 为对产出缺口的反应系数；$\varepsilon_t^m\sim\text{i.i.d. N}(0,\sigma_m^2)$ 为 monetary policy shock（货币政策冲击），也叫 innovation to interest rate。

实际利率由 Fisher equation 给出：

06 政府部门与财政

在 baseline 模型里，财政部门极简：政府征收 lump-sum tax $T_t$ 来满足自身预算约束，并且按 Ricardian 等价假设（lump-sum 税不影响家庭消费/劳动决策）。政府预算约束为：

在 baseline 中令 $G_t=0$，并且因为债券市场出清 $B_t=0$（家庭部门净债券持有为零），所以 $T_t=0$。引入财政只是为了让预算约束完备；一旦你要做财政政策专题（如政府购买冲击、 distortionary tax），才需要把 $G_t$ 外生过程和 $T_t$ 内生引入。

在扩展模型中常见的财政设定：$\ln G_t = (1-\rho_g)\ln \bar g + \rho_g \ln G_{t-1} + \varepsilon_t^g$，资源约束改为 $Y_t=C_t+G_t$。

07 市场出清条件

把所有 agent 的方程拼起来后，必须加上 market clearing（市场出清）才能求解一般均衡。Baseline 模型有三个出清条件：

加总生产函数（利用 symmetric equilibrium 与 Y_t(j) 的需求曲线平均）：在 Calvo 定价下精确加总会出现"价格分散"项 $\int(P_t(j)/P_t)^{-\varepsilon}dj$，但在零通胀稳态附近 log-linearize 后该项是二阶近似，可以忽略，于是：

08 Dynare .mod 文件骨架

把上面所有"文字描述"翻译成 Dynare 代码。注意：本页只是骨架，先把变量声明、参数、shock、model 块的结构写出来；FOC 与稳态将在第 3、4 页逐步补完。

% ============================================================
% baseline_nk.mod —— 标准三方程 NK 模型（骨架版）
% 本页只搭结构；FOC 与 steady_state_model 在后续页补完
% ============================================================

// ---------- 1. 变量声明 ----------
var Y C N pi i r mc Y_gap;
%  Y: 产出  C: 消费  N: 就业  pi: 通胀  i: 名义利率
%  r: 实际利率  mc: 实际边际成本  Y_gap: 产出缺口

varexo eps_a eps_m;
%  eps_a: 技术冲击  eps_m: 货币政策冲击

// ---------- 2. 参数声明 ----------
parameters beta sigma phi alpha theta eps_p rho_a rho_i phi_pi phi_y;

% 校准参数（标准 NK 教材值）
beta     = 0.99;     % 季度主观贴现因子 -> 稳态年化实际利率约 4%
sigma    = 1.0;      % CRRA 系数（=1 即 log utility）
phi      = 5.0;      % Frisch 劳动供给弹性的倒数
alpha    = 0.25;     % 生产函数中劳动份额为 (1-alpha)
theta    = 0.75;     % Calvo 不调价概率（平均价格持续 4 季度）
eps_p    = 9.0;      % 中间品替代弹性 -> 稳态加成 1.5 (=9/8)
rho_a    = 0.9;      % 技术冲击 AR(1) 系数
rho_i    = 0.8;      % 利率平滑系数
phi_pi   = 1.5;      % Taylor rule 通胀反应系数（>1 满足 Taylor principle）
phi_y    = 0.5/4;    % Taylor rule 产出缺口反应系数

// ---------- 3. 模型方程（下一页补完 FOC）----------
model;
% --- 家庭欧拉方程（待第 3 页推导后补）---
% 1/C^sigma = beta*(1/r(+1)) * 1/C(+1)^sigma;

% --- 劳动供给（待补）---
% N^phi * C^sigma = w;

% --- 生产函数 ---
Y = A * N^(1-alpha);

% --- 资源约束 ---
Y = C;

% --- Taylor rule ---
i = rho_i*i(-1) + (1-rho_i)*(phi_pi*pi + phi_y*Y_gap) + eps_m;

% --- Fisher equation ---
r = i - pi(+1);

% --- 技术冲击 AR(1) ---
A = rho_a*A(-1) + eps_a;

% --- NKPC（待第 3 页推导后补）---
% pi = beta*pi(+1) + kappa*Y_gap;
end;

// ---------- 4. 稳态（待第 4 页补完）----------
steady_state_model;
  % 见 03-steady-state.html
end;

// ---------- 5. 求解与模拟 ----------
shocks;
var eps_a; stderr 0.01;
var eps_m; stderr 0.0025;
end;

steady;
check;
stoch_simul(irf=20, periods=100);

09 论文案例与常见错误

9.1 论文案例（英文经典）

9.2 论文案例（中文顶刊）

9.3 模型构建阶段的常见错误（≥3 条）

9.4 进阶

• 下一步：02 · 一阶条件推导，把本页的优化问题逐一构造成 Lagrangian 并求导。
• 扩展阅读：Galí (2015) 第 3 章附录推导；Woodford (2003) Ch. 3。